groupe des classes

pilzpasconnecté · October 2006

Bonjour,

J' aimerai connaitre le goupe de Picard de $\Z[i\sqrt{13}]$, la borne de Minkowski nous dit que le cardinal de ce goupe est plus petit que 4.

Je sais que cet anneau d' entier n'est pas principal. En fait j' aimerais que cela fasse 2 ou 4 ( mais pas 3, car pour ceux qui connaissent c'est pour résoudre $x^2+13=y^3$).

merci d' avance.

borde · October 2006

Salut Pilz,

$h(-13) = 2$.

Attention : la borne de Minkowski ne te donne pas directement une majoration du nombre de classes, elle te dit simplement que, dans toute classe d'idéaux, il y a un idéal entier de norme $\leqslant$ cette borne. en revanche, une telle borne, notée $b_{\K}$ intervient dans la majoration du nombre de classes à l'aide de la proposition suivante : si $\K$ est un corps de nombre de degré $n \geqslant 2$ de borne de Minkowski $b_{\K}$, alors le nombre de classes $h_{\K}$ vérifie : $$h_{\K} \leqslant \sum_{m \leqslant b_{\K}} \tau_{n} (m),$$ où $\tau_n$ est la $n-$ème fonction de...Piltz (dont on a déjà parlé tous les deux).

Lorsque $\K$ est quadratique (comme ton exemple), alors $n=2$ et $\tau_2 = \tau$ est l'usuelle fonction de diviseurs.

Pour un corps quadratique, la {\it borne de Gauss} est meilleure que celle de Minkowski.

Borde.

Pilz · October 2006

Merci, Borde.

C'est vrai que je faisais une petite confusion concernant l' utilisation de la borne de Minkowski.

La majoration à l' aide des fonctions de Piltz est-elle efficace car pour $K=\Q(i\sqrt{13})$ on obtient $h_{\K} \leq 8$ ( si je ne me suis pas trompé), alors que cela fait 2.

Par contre je ne connais pas la borne de Gauss.

Merci de répondre à ces questions de débutant en théorie des nombres...

borde · October 2006

A ton service, Pilz, et, en plus, tu sais bien que si tu me prends par les sentiments...Et puis, tu n'es pas si débutant que cela, car je connais peu de débutants sachant manier nombre de classes et équations diophantiennes comme tu le fais.

{\bf Borne de Gauss} : Soit $\K = \Q(\sqrt d)$ un corps quadratique de discriminant $d_{\K}$. Toute classe d'idéaux entiers de $\K$ contient un idéal non nul de norme $N$ vérifiant $\displaystyle {N \leqslant \sqrt \left ( \frac {d_{\K}}{8}}$ si $d_{\K} \geqslant 8$, et $\displaystyle {N \leqslant \sqrt \left ( \frac { - d_{\K}}{3}}$ si $d_{\K} < 0$.

Comme tu es toujours très passionné et motivé, voici mon dernier article, qui vient d'être accepté au JIPAM, donnant une majoration du nombre de classes pour des corps de degré $\geqslant 3$, dont la démonstration, élémentaire, reprends l'idée des fonctions de Piltz : \lien {http://jipam.vu.edu.au/images/307_05_JIPAM/307_05.pdf}

A +

Borde.

borde · October 2006

Ah, j'ai oublié de répondre à ta question au-dessus, désolé. Tu demandais :

{\it La majoration $\displaystyle {h_{\K} \leqslant \sum_{m \leqslant b_{\K}} \tau_n(m)}$ est-elle effcace ?}

{\it Réponse} : oui et non !!!

Non, si ton corps de nombre est {\bf abélien} (comme les corps quadratiques, cyclotomiques, etc), car, pour eux, on dispose d'une {\it égalité} (la célèbre formule du nombre de classes).

Oui, pour tous les autres corps, car on a rien d'autre pour eux. Maintenant, si le degré (resp. discriminant) est grand, cette majoration devient grossière. Mais, je le répète, on n'a pas mieux, malgré tous les efforts des génies ayant travaillé dessus (Artin, Tate, Hecke, etc).

{\bf Remarque}. Pour un corps abélien $\K$, la formule du nombre de classes donne une relation entre tous les invariants de $\K$, et certains auteurs de livres (Washington, par exemple) n'hésitent pas à dire qu'elle est effectivement utilisée pour calculer des nombres de classes. Malgré l'impressionnante table de nombres de classes de corps cyclotomiques que l'on peut consulter dans le bouquin de Washington, cela m'a quand même toujours laissé perplexe, car, dans cette formule, il y a aussi le {\it régulateur} du corps, invariant lié aux {\it unités} de $\K$. Si l'on connaît très bien la structure du groupe des unités d'un corps de nombres (théorème de Dirichlet), on est encore aujourd'hui incapable d'avoir un algorithme efficace déterminant le régulateur d'un corps de nombres quelconque, et même dans le cas abélien, si le degré est grand, le problème est quasi-insoluble.

Pour contourner cette énorme difficulté, Georges et Marie-Nicole Gras (Georges Gras a été mon professeur de DEA à Besançon) ont eu l'idée d'une nouvelle technique, appelée "dévissage des unités cyclotomiques", et qui fait intervenir le régulateur de ces unités cyclotomiques, plutôt que celui du corps, qui est plus facile à calculer. L'idée est extrêmement brillante, et aboutit effectivement. Malheureusement, elle ne s'applique qu'aux corps abéliens. Les auteurs donnent d'ailleurs une majoration dans le cas où $\K$ est un corps {\bf cyclique} de degré premier $p \geqslant 3$ : si $f_{\K}$ est le conducteur de $\K$ et si $\mathcal {R}(\eta)$ est le régulateur de l'unité cyclotomique génératrice, alors $$h_{\K} \leqslant \frac {2^{p-1} \mathcal {R}(\eta)}{\left ( \ln (f_{\K}/(p+1) \right )^{p-1}}.$$

Borde.

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