Algèbre linéaire

Bonjour,

J'ai un problème en 4 parties..
La première :

On définit une suite $(U_n)_n$ par les relations : $\left\{\begin{array}{ll} U_0 = 0, U_1 = 1 \\ \forall n \in \Z U_{n+2} = U_{n+1} + U_n \end{array}$



1. Calculer $U_1, U_{-1}, U_{-2}$ et montrer que $\forall n \in \Z, U_n \in \Z$

2. Montrer que l'équation $x^2-x-1 = 0$ admet deux racines réelles. On désignera par $\rho$ la plus grande de ces racines.
Exprimer l'autre racine en fonction de $\rho$.
De même, exprimer $\rho^2, \rho^3$ en fonction de $\rho$.

3. Montrer qu'il existe, pour tout entier n de $\Z$, un couple unique $(a_n,b_n)$ d'éléments de $\Z$ tels que :
$\rho^n = a_n + b_n*\rho$.

4.a. Soit $V_n = (a_n,b_n)$ un vecteur de $\\R^2$. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme $h de \R^2$ tel que $\forall n \in \N$ $h(V_n) = V_{n+1}$.
Déterminer sa matrice M dans la base canonique $\{(1,0);(0,1)\}$ de $\R^2$.
Calculer le déterminant de $M$.

b. Diagonaliser $M$ et calculer $M^n \forall n \in \Z$.
En déduire une expression de $a_n$ et $b_n$ après avoir exprimé $V_n$ en fonction de $M$ et $V_0$.


Q1.
$U_2 = 1$
$U_{-1} = 1$
$U_{-2} = -1$

$(U_{-2}, ..., U_2) \in \Z^5$
$U_n$ est la somme d'éléments de $\Z$.


Q2.
$x^2-x-1 = 0$
$ \Delta = 5$
$x_1 = -(sqrt(5)-1)/2$
$x_2 = (sqrt(5)+1)/2$
Eléments de $\R$.

$\rho = x_2$.

$\rho^2 = ... = \rho + 1/2$
($b_2 = 1, a_2 = 1/2$)

$\rho^3 = ... = 2 \rho + 1$
($b_3 = 2, a_3 = 1$)


Q3.
Par récurrence :
-Initialisation :
$\rho^2 = ... = \rho + 1/2$
$=> b_2 = 1, a_2 = 1/2$

-Hypothèse de récurrence :
On suppose qu'il existe $n \in \Z$ tel que $\rho^n = b_n \rho + a_n$

-Hérédité :
On le montre au rang $n+1$ :
$\rho^{n+1} = \rho^n * \rho = (b_n \rho + a_n)* \rho = ... = (a_n + b_n) \rho + b_n$
$=> b_{n+1} = a_n + b_n$
$=> a_{n+1} = b_n$

Unicité de $a_n$ et $b_n$ :
?

Q4a.
Je ne sais pas très bien..
Je pense que l'unicité de $(a_n, b_n)$ est un élément de réponse, mais...
Pour la matrice je veux bien une explication.
Je pense à ça, mais n'en suis pas sûr du tout :
$M = \left (\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{array} \right) $

Déterminant de M : avec M ça ira mieux.
$M^n$ : idem
Diagonaliser M : ?


Merci d'avance.