probleme sur le seconde degré
Bonjour je voudrais avoir votre aide sur un probleme portant sur le seconde degré j'espère que vous pourrez m'aider .
Alors ceci est l'énoncé :
On considere un point M du segment [AB] de longueur 10cm. On note x la longueur AM. On construit un triangle rectangle isocèle MAI et le carré MNPB comme indiqué. On note H et K les projetés orthogonaux respectifs du point I sur les droites (AB) et (MN).
a. Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire du triangle INM est maximale et calculer son aire.
b. Pour quelle position du poin M l'aire du pentagone AINPB est-elle maximale ?
Merci d'avance si vous arrivez à m'aidez ça me serait bénéfique surtout pour le b en tout cas merci comme même.
Alors ceci est l'énoncé :
On considere un point M du segment [AB] de longueur 10cm. On note x la longueur AM. On construit un triangle rectangle isocèle MAI et le carré MNPB comme indiqué. On note H et K les projetés orthogonaux respectifs du point I sur les droites (AB) et (MN).
a. Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire du triangle INM est maximale et calculer son aire.
b. Pour quelle position du poin M l'aire du pentagone AINPB est-elle maximale ?
Merci d'avance si vous arrivez à m'aidez ça me serait bénéfique surtout pour le b en tout cas merci comme même.
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Réponses
l'aire du triangle IMN est égale à (x/4)(10-x)=5x/2 - x²/4
dont le maximum est obtenu pour x = 5 (qui annule la dérivée)
ce maximum est égal à 25/4 cm²
l'aire du pentagone AINPB (en décomposant suivant le triangle INM + le carré MNPB + le triangle AIM)
est égale à 5x/4 - x²/4 + (10-x)² + x²/2 soit 5x²/4 - 35x/2 + 100
qui admet un minimum pour x = 7 cm (valeur qui annule la dérivée)
et qui admet un maximum pour x = 10 (puisque 0 < x < 10);
ce maximum = 50 cm²
bonne nuit
petite erreur: le maximum de l'aire du pentagone est obtenu pour x = 0
et ce maximum est égale à 100 cm²
cordialement
$\mathcal{A}(AIM)+\mathcal{A}(IMN)+\mathcal{A}(MNPB)=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{x^2}{4}+(10-x)^2=x^2-\dfrac{35}{2}x+100$
qui admet un minimum pour $x=\dfrac{35}{4}$ et un maximum pour $x=0$ (celui-ci valant 50)... on aboutit au même résultat final malgré tout
Pourrais-tu m'expliquer?
ici, il faut alors se demander pourquoi $IH=\dfrac{x}{2}$; indic : le triangle est rectangle isocèle, il faut, entre autre, utiliser la propriété liant triangle rectangle et cercle circonscrit..
Sinon, pour calculer $IA$ (si tu insistes dans cette voie) : comme $IA=IM$ et que le triangle est rectangle : $AM^2=IA^2+IM^2$ soit $2IA^2=x^2$ d'où $IA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$.
Jean, avec tout le respect que je vous dois, je constate que régulièrement vous donnez les solutions complètes des pbs posés par des élèves, pensez-vous que vous leur rendez vraiment service en faisant cela???
Excusez-moi, mais là vraiment ça me met en colère!
Emmanuel