probleme sur le seconde degré

july421
july421
dans Algèbre
Bonjour je voudrais avoir votre aide sur un probleme portant sur le seconde degré j'espère que vous pourrez m'aider .
Alors ceci est l'énoncé :
On considere un point M du segment [AB] de longueur 10cm. On note x la longueur AM. On construit un triangle rectangle isocèle MAI et le carré MNPB comme indiqué. On note H et K les projetés orthogonaux respectifs du point I sur les droites (AB) et (MN).

a. Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire du triangle INM est maximale et calculer son aire.
b. Pour quelle position du poin M l'aire du pentagone AINPB est-elle maximale ?

Merci d'avance si vous arrivez à m'aidez ça me serait bénéfique surtout pour le b en tout cas merci comme même.5193

Réponses

  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    l'aire du triangle IMN est égale à (x/4)(10-x)=5x/2 - x²/4

    dont le maximum est obtenu pour x = 5 (qui annule la dérivée)

    ce maximum est égal à 25/4 cm²

    l'aire du pentagone AINPB (en décomposant suivant le triangle INM + le carré MNPB + le triangle AIM)

    est égale à 5x/4 - x²/4 + (10-x)² + x²/2 soit 5x²/4 - 35x/2 + 100

    qui admet un minimum pour x = 7 cm (valeur qui annule la dérivée)

    et qui admet un maximum pour x = 10 (puisque 0 < x < 10);
    ce maximum = 50 cm²

    bonne nuit
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    petite erreur: le maximum de l'aire du pentagone est obtenu pour x = 0

    et ce maximum est égale à 100 cm²

    cordialement
  • CQFD
    CQFD
    Je n'obtiens pas le même résultat pour l'aire du pentagone :
    $\mathcal{A}(AIM)+\mathcal{A}(IMN)+\mathcal{A}(MNPB)=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{x^2}{4}+(10-x)^2=x^2-\dfrac{35}{2}x+100$
    qui admet un minimum pour $x=\dfrac{35}{4}$ et un maximum pour $x=0$ (celui-ci valant 50)... on aboutit au même résultat final malgré tout
  • july421
    july421
    je ne comprends pas commen a tu calculer l'aire du triangle AIM
    Pourrais-tu m'expliquer?
  • Sarah13
    Sarah13
    Je comprend pas comment on calcul AIM puisque la formule est: hauteur x base /2 <=== IM x IA /2 nan? et IA=IM car IMA isocèle mais comment avoir IA?
  • CQFD
    CQFD
    $\mathcal{A}(AIM)=\dfrac{b\times h}{2}=\dfrac{AM\times IH}{2}=\dfrac{x\times\frac{x}{2}}{2}=\dfrac{x^2}{4}$
    ici, il faut alors se demander pourquoi $IH=\dfrac{x}{2}$; indic : le triangle est rectangle isocèle, il faut, entre autre, utiliser la propriété liant triangle rectangle et cercle circonscrit..

    Sinon, pour calculer $IA$ (si tu insistes dans cette voie) : comme $IA=IM$ et que le triangle est rectangle : $AM^2=IA^2+IM^2$ soit $2IA^2=x^2$ d'où $IA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$.
  • july4210
    july4210
    merci pour l'aide!
  • Sarah13
    Sarah13
    merci beaucoup!! :D
  • Yersinia pestis0
    Yersinia pestis0
    Merci à Jean d'avoir ENCORE UNE FOIS fait tout le travail !

    Jean, avec tout le respect que je vous dois, je constate que régulièrement vous donnez les solutions complètes des pbs posés par des élèves, pensez-vous que vous leur rendez vraiment service en faisant cela???

    Excusez-moi, mais là vraiment ça me met en colère!

    Emmanuel
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