injection et surjection

Anae · October 2006

Bonjours a tous.
J'ai un problème concernant la première question d'un dns de Maths. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

S l'espace vectoriel des suites réelles. On note ($u_n$)n$\geq$0=($u_n$) les élements de S.

h:S $\longrightarrow $ S, h(($u_n$))=($v_n$) avec
$\forall n \in \N$, $v_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} u_k$

L'application h est-elle injective? surjective?

Merci d'avance Bisous Anae

arno_nora · October 2006

Salut,

Je te propose d'écrire $u_n$ en fonction de $v_0,v_1,.......,v_n$, en commençant par $n=0$ puis $n=1$ puis tu verra
et si tu arrives à faire ça, tu auras trouver une fonction $f: S \longrightarrow S$
telle que $(u_n)=f((v_n))$, et tu pourras conclure

grandwazoo · October 2006

Tu peux dans ce cas directement construire un inverse : connaissant $v_n$, tu peux trouver $u_n$ tel que $h((u_n))=(v_n)$ en résolvant un système linéaire infini de proche en proche. Le système en question est triangulaire.

Anae · October 2006

Je suis désolée, je ne comprends pas du tout où vous voulez en venir :$
Anae

grandwazoo · October 2006

Ben ta fonction est en fait bijective (injective et surjective), et pour montrer ça il suffit de prouver que $h^{-1}$ existe... Autrement dit, que pour toute suite $(v_n)$, il existe une unique suite $(u_n)$ avec $h((u_n))=(v_n)$.

pablo0 · October 2006

bonjour puisque on est dans un espace vectoriel l'injectivité se demontre par la relation kerh={0} c'est evident et la surjectivité par construction il n'ya rien à develloper !!

bisam · October 2006

Anae, que vaut $(n+1)v_n-nv_{n-1}$ pour $n \geq 1$ ?

Anae · October 2006

ca vaut $u_n$.
j'ai réussi a trouver ceci par conjecture, c'est bon. Mais je dois faire une récurrance pour le prouver c'est ca? et dans ce cas que vaut f? Je suis un peu perdu dans les signes

f(x)=(n+1)x-n(x-1)? je pense pas qu'il s'agit de la bonne réponse.
Merci d'avance
Anae

Anae · October 2006

non c'est faux en réalité, mais de toute facon il est impossible de faire une récurrance pour démonter ce résultat, étant donné que le $v_{n+1}$ é compris dans la somme partielle.
Il faut donc obligatoirement démontrer l'injection puis la surjection au lieu de vouloir démonter directement la bijection non?

Bisous Anae

Archimède · October 2006

Il suffit de prouver que <IMG WIDTH="87" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/24/99926/cv/img1.png" ALT="$ (v_n)\mapsto(u_n)$"> donné par
 <IMG WIDTH="175" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/24/99926/cv/img2.png" ALT="$ u_n=(n+1)\,v_n-n\,v_{n-1}$">, <IMG WIDTH="42" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/24/99926/cv/img3.png" ALT="$ n>0$">.
 <IMG WIDTH="55" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/10/24/99926/cv/img4.png" ALT="$ u_0=v_0$">
 est l'application réciproque.

bs1 · October 2006

Bonjour Anaé,

puisque tu veux le faire en deux étapes;
1) montrons l'injectivité:

Il faut montrer que:

h(u)=h(w) ====> u=w

or h linéaire;donc, équivalent à : h(u-w)=0 ===> u-w=0
ou encore : h(u)=0 ===> u=0.
Montrons-le:

$h(u_0)=v_0=0$=== >$v_0=u_0/1=0 $ donc $u_0=0$. ( cf:définition de h)
$h(u_1)=v_1=0$===>$v_1=[u_0+u_1]/2=0$ ==>$u_1=0$ car $u_0=0$
.... par récurrence forte sur n, tu montres que pour tout n :$u_n=0$

2)pour la surjectivité, à partir des $v_n$ , tu calcules les $u_n$, en commençant par $u_0$,...

3)Plus tard, tu verras les valeurs propres et vecteurs propres de h.

Bon courage.

injection et surjection

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