Applications linéaires

problematique · October 2006

Bonsoir,
Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible, merci d'avance.
Voici l'énoncé:

On considère un espace vectoriel réel E de dimension 3, muni d'une base {$e_1,e_2,e_3$}. Soit $\lambda$ un réel. Montrez qu'il existe une unique application linéaire $\phi$_$\lambda$ de E dans E telle que:
$\phi$_$\lambda$($e_1$) = $e_1 + e_2$, $\phi$_$\lambda$($e_2$) = $e_2 - e_1$ et
$\phi$_$\lambda$($e_3$$) = $e_1 + $\lambda$ e_3$.
Pour quelles valeurs de $\lambda$, $\phi$_$\lambda$ est-elle injective? Surjective? Bijective?

Merci beaucoup pour les réponses.

problematique · October 2006

Dsl le code latex ne s'affiche pas je remets le message:

Bonsoir, Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible, merci d'avance. Voici l'énoncé:

On considère un espace vectoriel réel E de dimension 3, muni d'une base $ e_1,e_2,e_3$ . Soit $ \lambda$ un réel. Montrez qu'il existe une unique application linéaire $ \phi$_$ \lambda$ de E dans E telle que: $ \phi$_$ \lambda$(e_1) = $ e_1$ + $ e_2$, $ \phi$_$ \lambda$(e_2) = $ e_2$ - $ e_1$ et $ \phi$_$ \lambda$(e_3) = $ e_1$ + $ \lambda$ $ e_3$. Pour quelles valeurs de $ \lambda$,

$\displaystyle \phi$_$ \lambda$

est-elle injective? Surjective? Bijective?

Merci beaucoup pour les réponses.

Toto.le.zero · October 2006

Puisque c'est un endomorphisme de E qui est de dimension 3, tu sais que ton application linéaire est injective ssi elle est surjective, ssi elle est bijective.

Tu peux donc voir à quelle condition sa matrice dans la base e_1, e_2, e_3 est inversible, pour cela pourquoi ne pas calculer le déterminant de celle-ci en fonction de lambda et dire les valeurs de lambda pour lesquelles il est non-nul ?

Alain Debreil · October 2006

Bonsoir
Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible.
Merci d'avance. Voici l'énoncé :

On considère un espace vectoriel réel $E$ de dimension 3, muni d'une base $ e_1,e_2,e_3$ . Soit $ \lambda$ un réel.
Montrez qu'il existe une unique application linéaire $ \phi_\lambda : E \rightarrow E$ telle que :
$ \phi_\lambda(e_1) = e_1 + e_2$
$ \phi_\lambda(e_2) = e_2 - e_1$
$ \phi_\lambda(e_3) = e_1 + \lambda e_3$.
Pour quelles valeurs de $ \lambda,\ \phi_\lambda$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?

Merci beaucoup pour les réponses.

problematique · October 2006

Oui Toto j'y avais pensé à ça, mais j'avais pas pensé aux équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité, merci en tout cas de m'avoir rafraichit la mémoire.

Applications linéaires

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Bonjour!

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