Applications linéaires
dans Algèbre
Bonsoir,
Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible, merci d'avance.
Voici l'énoncé:
On considère un espace vectoriel réel E de dimension 3, muni d'une base {$e_1,e_2,e_3$}. Soit $\lambda$ un réel. Montrez qu'il existe une unique application linéaire $\phi$_$\lambda$ de E dans E telle que:
$\phi$_$\lambda$($e_1$) = $e_1 + e_2$, $\phi$_$\lambda$($e_2$) = $e_2 - e_1$ et
$\phi$_$\lambda$($e_3$$) = $e_1 + $\lambda$ e_3$.
Pour quelles valeurs de $\lambda$, $\phi$_$\lambda$ est-elle injective? Surjective? Bijective?
Merci beaucoup pour les réponses.
Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible, merci d'avance.
Voici l'énoncé:
On considère un espace vectoriel réel E de dimension 3, muni d'une base {$e_1,e_2,e_3$}. Soit $\lambda$ un réel. Montrez qu'il existe une unique application linéaire $\phi$_$\lambda$ de E dans E telle que:
$\phi$_$\lambda$($e_1$) = $e_1 + e_2$, $\phi$_$\lambda$($e_2$) = $e_2 - e_1$ et
$\phi$_$\lambda$($e_3$$) = $e_1 + $\lambda$ e_3$.
Pour quelles valeurs de $\lambda$, $\phi$_$\lambda$ est-elle injective? Surjective? Bijective?
Merci beaucoup pour les réponses.
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Réponses
Bonsoir, Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible, merci d'avance. Voici l'énoncé:
On considère un espace vectoriel réel E de dimension 3, muni d'une base $ e_1,e_2,e_3$ . Soit $ \lambda$ un réel. Montrez qu'il existe une unique application linéaire $ \phi$_$ \lambda$ de E dans E telle que: $ \phi$_$ \lambda$(e_1) = $ e_1$ + $ e_2$, $ \phi$_$ \lambda$(e_2) = $ e_2$ - $ e_1$ et $ \phi$_$ \lambda$(e_3) = $ e_1$ + $ \lambda$ $ e_3$. Pour quelles valeurs de $ \lambda$,
$\displaystyle \phi$_$ \lambda$
est-elle injective? Surjective? Bijective?
Merci beaucoup pour les réponses.
Tu peux donc voir à quelle condition sa matrice dans la base e_1, e_2, e_3 est inversible, pour cela pourquoi ne pas calculer le déterminant de celle-ci en fonction de lambda et dire les valeurs de lambda pour lesquelles il est non-nul ?
Je bute sur un petit problème pas bien difficile mais je ne sais pas trop comment m'y prendre pour le résoudre. J'aimerais que vous m'apportiez votre aide si possible.
Merci d'avance. Voici l'énoncé :
On considère un espace vectoriel réel $E$ de dimension 3, muni d'une base $ e_1,e_2,e_3$ . Soit $ \lambda$ un réel.
Montrez qu'il existe une unique application linéaire $ \phi_\lambda : E \rightarrow E$ telle que :
$ \phi_\lambda(e_1) = e_1 + e_2$
$ \phi_\lambda(e_2) = e_2 - e_1$
$ \phi_\lambda(e_3) = e_1 + \lambda e_3$.
Pour quelles valeurs de $ \lambda,\ \phi_\lambda$ est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Merci beaucoup pour les réponses.