Un joli résultat...
dans Algèbre
[MERCI AUX MODERATEURS DE PASSER LE MESSAGE EN LATEX, JE NE COMPRENDS PAS POURQUOI IL BLOQUE SUR MON ORDI]
Soit M une matrice carrée d'ordre 2, de déterminant 1.
Soit n un entier positif quelconque.
Alors il existe k élément de $\Z$ tel que $A^n+(A^{-1})^n=k.Id_2$ où $Id_2$ est la matrice identité d'ordre 2.
La preuve est accessible à un bon élève de $1^{ère}ES$ option maths, si on prolonge un peut le cours sur les matrices.
Je trouve le résultat plutôt joli.
J'espère que mon $L_AT^EX$ sera bien passé, je ne suis pas au point sur les matrices et je n'ai pas pu tester l'aperçu, qui ne s'ouvre pas.
Il repose sur le fait que pour les matrices d'ordre 2 et de déterminant 1, l'inverse de
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\end{pmatrix}$
est
$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\end{pmatrix}$
Or $det(A^n)=(det(A))^n=1$ donc $A^n$ obéit à la même règle.
Par ailleurs, $(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}$ donc
$A^n+(A^{-1})^n$ est de la forme :
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\end{pmatrix}$
soit
$\begin{pmatrix}a+d&0\\0&a+d\\end{pmatrix}$
A l'ordre 3, ça ne marche plus.
Sébatiduroc.
Soit M une matrice carrée d'ordre 2, de déterminant 1.
Soit n un entier positif quelconque.
Alors il existe k élément de $\Z$ tel que $A^n+(A^{-1})^n=k.Id_2$ où $Id_2$ est la matrice identité d'ordre 2.
La preuve est accessible à un bon élève de $1^{ère}ES$ option maths, si on prolonge un peut le cours sur les matrices.
Je trouve le résultat plutôt joli.
J'espère que mon $L_AT^EX$ sera bien passé, je ne suis pas au point sur les matrices et je n'ai pas pu tester l'aperçu, qui ne s'ouvre pas.
Il repose sur le fait que pour les matrices d'ordre 2 et de déterminant 1, l'inverse de
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\end{pmatrix}$
est
$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\end{pmatrix}$
Or $det(A^n)=(det(A))^n=1$ donc $A^n$ obéit à la même règle.
Par ailleurs, $(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}$ donc
$A^n+(A^{-1})^n$ est de la forme :
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\end{pmatrix}$
soit
$\begin{pmatrix}a+d&0\\0&a+d\\end{pmatrix}$
A l'ordre 3, ça ne marche plus.
Sébatiduroc.
Réponses
-
Autre méthode : Soit $B=A^n$. On montre par un petit calcul que l'on a $B^2 - tr(B) B + det(B) I_2 = 0$ (cas particulier de Cayley-Hamilton en dimension 2), autrement dit : $B^2 + I_2 = k B$ où $k=tr(B)$, car $det(B)=1$.
Et, en multipliant par $B^{-1}$, ceci devient $B+B^{-1} = k I_2$ où $k=tr(B)$. -
Soit $M$ une matrice carrée d'ordre 2, de déterminant 1.
Soit $n$ un entier positif quelconque.
Alors il existe $k$ élément de $\Z$ tels que $A^n+(A^{-1})^n=k.Id_2$ où $Id_2$ est la matrice identité d'ordre 2.
La preuve est accessible à un bon élève de $1^{ère}ES$ option maths, si on prolonge un peu le cours sur les matrices.
Je trouve le résultat plutôt joli.
J'espère que mon $\LATEX$ sera bien passé, je ne suis pas au point sur les matrices et je n'ai pas pu tester l'aperçu, qui ne s'ouvre pas.
Il repose sur le fait que pour les matrices d'ordre 2 et de déterminant 1, l'inverse de $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ est $\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
Or $det(A^n)=(det(A))^n=1$ donc $A^n$ obéit à la même règle.
Par ailleurs, $(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}$ donc $A^n+(A^{-1})^n$ est de la forme :
$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix}a+d&0\\0&a+d\end{pmatrix}$
A l'ordre 3, ça ne marche plus.
Sébatiduroc. -
merci Alain.
[A ton service
AD] -
bonjour
je propose une autre solution (mais qui n'est pas au programme de terminale ES) basée sur les matrices A(t) de rotation (d'angle t et déterminant égale à 1) de la forme
(cost -sint)
(sint cost)
on connaît A^n qui est tout simplement
[cos(nt) -sin(nt)]
[sin(nt) cos(nt)]
et A^(-n) est de la forme
[cos(nt) sin(nt)]
[-sin(nt) cos(nt)]
et donc: A^n + A^(-n)=I(2).2.cos(nt)
la somme est une matrice unité pondérée d'un réel 2.cos(nt) qui d'après l'énoncé est un entier relatif
cordialement -
jean, toute matrice 2x2 et de déterminant 1 n'est pas une matrice de rotation !!
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Bonjour!
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