2 questions sur les groupes
dans Algèbre
bonjour,
Voilà j'ai deux exercices dans lesquels à chaque fois la dernière question me pose probleme. Ce sont des classiques.
soit G un sous groupe de R, on considère l'intersection de G et des reels strictement positifs, montrer que si la borne inférieure vaut 0, alors G est dense, sinon il est de la forme aZ (pour la seconde partie, j'ai fait par double inclusion, utilisant la division euclidienne).
Soit G un sous groupe de la forme Z + aZ, a=p/q, montrer que G est de la forme 1/qZ (j'ai dit que tt élement de G s'écrivait sous la forme K/q, mais je ne vois pas pourquoi K=1)
merci
Voilà j'ai deux exercices dans lesquels à chaque fois la dernière question me pose probleme. Ce sont des classiques.
soit G un sous groupe de R, on considère l'intersection de G et des reels strictement positifs, montrer que si la borne inférieure vaut 0, alors G est dense, sinon il est de la forme aZ (pour la seconde partie, j'ai fait par double inclusion, utilisant la division euclidienne).
Soit G un sous groupe de la forme Z + aZ, a=p/q, montrer que G est de la forme 1/qZ (j'ai dit que tt élement de G s'écrivait sous la forme K/q, mais je ne vois pas pourquoi K=1)
merci
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Réponses
Le but est de démontrer que le groupe est dense.
Pour ça on prend un réel $x\in\R$, et on veut l'approcher avec une suite de G.
Pour $n\in\N$, on peut toujours trouver un $g_n\in G$ tel que $0
en relisant ton énoncé je m'apperçois que a=p/q, donc quand tu dis b=1/q, c'est pas le même q, autrement dit dans ton énoncé tu marques "montrer que G est de la forme 1/qZ" il vaudrait mieux marquer b=1/n.
Désolé
dans son énoncé c'était pas précisé que p/q est irréductible....
je trouve son énoncé mal formulé sur cette question: "de la forme 1/qZ".
Mais en effet, il peut le démontrer.
autant qu'il montre directement $ \mathbb{Z}+a\mathbb{Z}=1/q\mathbb{Z}$ sans passer par b!
Mais alors quel est le rapport avec l'exercice d'avant?