sommes de Newton ??
bonsoir, voici un exo que mon prof a laissé de côté ne pouvant tout traiter,en disant que c'etait asse simple. Cependant et malgré ses indications, je n'y arrive. le voici:
soient $a,b,c$ des nombres complexes.
On pose:$u=a+b+c$, $v=a^2+b^2+c^2$ et $w=a^3+b^3+c^3$
Exprimer $a^4+b^4+c^4$ en fonction de $u,v$ et $w$.
Le prof m'a dit qu'une manière simple de résoudre cette question était "les relations entre coefficients et racines d'un polynôme"
Je pensais donc aus sommes de Newton, mais ne les ayant jamais vu en cours, je n'ai que quelques notions vues sur le net.
Qui pourraient m'éclairer?
Sinon par le calcul "bête et méchant", la solution arrive.
D'avance merci
soient $a,b,c$ des nombres complexes.
On pose:$u=a+b+c$, $v=a^2+b^2+c^2$ et $w=a^3+b^3+c^3$
Exprimer $a^4+b^4+c^4$ en fonction de $u,v$ et $w$.
Le prof m'a dit qu'une manière simple de résoudre cette question était "les relations entre coefficients et racines d'un polynôme"
Je pensais donc aus sommes de Newton, mais ne les ayant jamais vu en cours, je n'ai que quelques notions vues sur le net.
Qui pourraient m'éclairer?
Sinon par le calcul "bête et méchant", la solution arrive.
D'avance merci
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Réponses
Développe $uw$ et observe que $ab+bc+ac=\frac{1}{2} ((a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2))$.
Ciao
u,v,w et $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ sont des polynômes symétriques
des indéterminées a,b,c. C'est à dire qu'ils restent identiques par permutation
de a,b et c.
En conséquence,u,v,w et $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ s'expriment tous les quatre en fonction des fonctions symétriques des racines:
$\sigma_1=a+b+c$
$\sigma_2=ab+ac+bc$
$\sigma_3=abc$
On peut donc calculer $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ en fonction de u,v,w en
éliminant $\sigma_2$ et $\sigma_3$ des relations.
$\sigma_1$,$\sigma_2$,$\sigma_3$ s'expriment à l'aide des coefficients
du polynôme $(X-a)(X-b)(X-c)$.
De même, $a^{5}+b^{5}+c{5}$ s'exprime en fonction de $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$ et donc accessoirement en fonction de u,v,w.
La théorie se trouve dans:
http://algo.inria.fr/seminars/sem04-05/bostan-slides.pdf
cordialement.