Polynômes caractéristique et minimal

Kisscool · October 2006

Bonsoir,

j'ai
$A=\begin{pmatrix}0&2&1&\\-2&0&3&\\-1&-3&0&\end{pmatrix}$
donc
$A^2=\begin{pmatrix}-5&-3&6\\-3&-13&-2\\6&-2&-10\end{pmatrix}$

je dois trouver le polynome caractéristique et minimal de $14^{1002}A^2$ ?

Donc je calcule $det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-XI)$ ?

fabien · October 2006

si $A \in M_n(\Bbb{R})$ et si $\labmda \in \Bbb{R}$, det($\lambda A$)$=\lambda^n$ det($A$)

fabien · October 2006

si $A \in M_n(\Bbb{R})$ et si $\lambda \in \Bbb{R}$, det($\lambda A$)$=\lambda^n$ det($A$)

doublon à effacer. merci aux modérateurs.

Kisscool · October 2006

Mais alors comment trouver le polynome caractéristique ?

fabien · October 2006

Ce que tu sembles vouloir faire, c'est mettre $14^{1002}$ en facteur. Tu peux le faire, mais dans ce cas, le $XI$ doit être &quotmodifié&quot.

Kisscool · October 2006

On aurair alors :
$ det(14^{1002}A^2-XI)=14^{1002}det(A^2-\frac{XI}{14^{1002}})$ ?

jean lismonde · October 2006

bonjour

la matrice A (antisymétrique) possède trois valeurs propres distinctes 0, i.rac(14) et -i.rac(14)

la matrice A² possède une valeur propre distincte 0 et une valeur propre double -14

si A² est multipliée par 14^1002 la valeur propre de A² est multipliée par le même coefficient et donc le polynôme caractéristique factorisé de A² est:

x(x+14^1003)²=0

tu peux vérifier par le calcul complet du déterminant de (aA²-xI) avec a=10^1002

cordialement

Polynômes caractéristique et minimal

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