Idéaux
Bonjour,
Vu sur un autre forum: trouver un anneau non unitaire $R$ et deux sous-anneaux $S,T$ de $R$ tels que $S$ est un idéal bilatère de $R$, $T$ est un idéal bilatère de $S$, mais $T$ n'est pas un idéal de $R$ (ni à droite ni à gauche).
J'ai trouvé un exemple d'ordre $16$, et j'ai presque réussi à prouver que ce cardinal est le plus petit possible, sauf que je n'arrive pas à me débarasser des cas $12$ et $8$ ... (j'arrive cependant à montrer que la loi d'un tel anneau devrait satisfaire $\forall s \in S, \forall t \in T, st=0$, mais celà ne suffit pas à conclure à une contradiction).
Aussi, existe-t-il un tel anneau $R$ qui soit commutatif ?
Vu sur un autre forum: trouver un anneau non unitaire $R$ et deux sous-anneaux $S,T$ de $R$ tels que $S$ est un idéal bilatère de $R$, $T$ est un idéal bilatère de $S$, mais $T$ n'est pas un idéal de $R$ (ni à droite ni à gauche).
J'ai trouvé un exemple d'ordre $16$, et j'ai presque réussi à prouver que ce cardinal est le plus petit possible, sauf que je n'arrive pas à me débarasser des cas $12$ et $8$ ... (j'arrive cependant à montrer que la loi d'un tel anneau devrait satisfaire $\forall s \in S, \forall t \in T, st=0$, mais celà ne suffit pas à conclure à une contradiction).
Aussi, existe-t-il un tel anneau $R$ qui soit commutatif ?
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Réponses
Clairement, $T$ est un ideal de $S$ mais pas de $R$ car $X \in T$ et $XY^{-1} \notin T$.
Si vraiment tu veux $R$ non unitaire, tu multiplies tout ca par $2 \Bbb Z $.