Voilà je dois prouver que le polynôme t^4+t^3+t^2+t+1 est irréductible dans Q.
J'ai essayé d'appliquer le critère de Eisenstein, mais ça ne fonctionne pas. Je n'ai pas dautre idée, pouvez-vous m'aider c'est le dernier qui me reste à prouver... Je fatigue
Merci
Réponses
Tu peut alors appliquer le critère Eisenstein à $P(X+1)$ avec $p=5$
Borde.
$$\left\{\begin{array}{l}
a+c=1\\
b+d+ac=1\\
ad+bc=1\\
bd=1
\end{array}\right.$$
Par consequent $b=d=\pm1$ et $ac=3$ ou $ac=-3$
On en déduit que $a$ et $c$ sont racines de $X^2-X+3$ ou $X^2-X-1$. Dans tous les cas $a$ et $c$ ne sont pas dans $\Z$. Donc $P$ n'est pas reductible dans $\Q[X]$.
Mais bon, y'a pas photo la méthode de CQFD est la meilleure.
Joaopa
Son défaut : est inapplicable en pratique lorsque le degré est grand, car il faut alors un test de primalité efficace...
En pratique, j'utilise le plus souvent la méthode des polygones de Newton.
Borde.
en fait non, mais on peut les choisir ainsi sans perte de généralité .
(juste pour que la rédaction soit meilleure)
bonsoir Borde : as-tu réfléchis à la question de l'optimalité du critère de Ore depuis la dernière fois ?
lolo
Quelqu'un peut-il me l'expliquer ? (En particulier, mettre son polynôme sous la forme d'une fraction me paralyse).
$$P(X)=\frac{X^5-1}{x-1}$$
et tu calcule $P(X+1)$ (c'est la que tu vois l'interet d'avoir une forme simplifiée). tu trouves :
$$P(X+1)=\frac{X^5 + 5X^4 + 10X^3 + 10X^2 + 5X + 1-1}{X+1-1}$$
cad
$$P(X+1)=\X^4 + 5X^3 + 10X^2 + 10X + 5$$
et la tu peux appliquer Eisenstein.
Je n'ai pas trouvé de réponse quant à ta question de l'optimalité de ce résultat. D'ailleurs, on ne trouve pas mieux dans la littérature actuelle, semble-t-il.
En revanche, ta démonstration du lemme fondamental, bien plus courte que la preuve originale, mériterait une publication dans un journal d'algèbre ou de théorie algébrique (journal of algebra). L'as-tu déjà soumise ?
Borde.
lolo
[A ton service AD]
Il est possible qu'elle fût d'ores et déjà publiée, et qu'elle m'aie donc échappée, car, celle que j'ai est beaucoup plus délicate et longue.
En tout cas, je tenais à te remercier de nous l'avoir communiquée. Et il n'est pas inutile de rappeler que, pour être capable d'expliquer une démonstration, il est nécessaire de posséder les compétences qui vont avec !
Borde.
Prenant le train en route : il s'agit bien de la remarque ( "très délicat résultat suivant") figurant au bas de la page 180 du Thèmes d'Arithmétique et pour laquelle lolo a donné une preuve élégante dans un fil précédent . ( A=P+1,B=P-1)?
Concernant Ore: de quelle nationalité est-il?
En théorie des groupes , Ore (je pense qu'il s'agit du même) a laissé aussi un très joli lemme sur les sous-groupes normaux.
Merci,
Borde.
C'est en prépa agreg que notre professeu(se) de théorie des groupes nous a énoncé et démontré ce lemme d'Ore:
Si p est le plus petit facteur premier du cardinal de G, alors , un sous-groupe d'indice p ,s'il en existe,est normal dans G.
Commentaires:
1) c'est une généralisation du cas p=2 bien connu.
2) Dans mes livres sur les groupes: Bouvier-Richard,Calais,Delcourt ,...ou sur Perrin,...: je n'ai jamais rencontré le lemme ( ou théorème) d'Ore. Par contre dans Delcourt, c'est l'exercice 3.2.12 mais il n'est pas baptisé.
Mais ,jusqu'à preuve d'un démenti, je crois ma professeu(se) sur la paternité de ce lemme.J'ignorais l'existence d'Ore auparavant. Un petit tour sur Google ne m'a pas fait avancer, m'engluant dans des entreprises de peinture.
Bonne journée.
Je connaissais ce résultat sous le nom de "théorème de Burnside"...
Ore est surtout connu pour avoir adapté la méthode des polygones de Newton pour décomposer des idéaux premiers de corps de nombres dans certains cas, lorsque le théorème classique de Kummer ne fonctionne plus
Borde.
Borde.
Du coup je sais plus comment on l'appelle ce theoreme (Burnside, Frobenius ou Ore?)
1)polygones ou polynômes ?:-)
2)Ore ou Burnside ? je vais demander à mon ancien prof sa référence concernant le lemme d'Ore ?
bonsoir jobherzt: ordre ou indice ?
bonsoir lolo: confirmes-tu la nationalité norvégienne d'Ore ? autrement , élégant ta démo même si ce n'est pas ta démo.
bonsoir à tous et merci.
<BR>
<BR>J'ai bien dit poly<B>gones</B> de Newton (méthode qui sert à pas mal de choses, et qui se généralise au poly<B>topes</B> de Newton).
<BR>
<BR>Borde.<BR>
ce n'est pas bien du tout d'avoir douté de toi l'espace d'un instant.
Ton livre est aussi captivant qu'un Agatha Christie :de plus ,avec toutes les questions posées dans le forum concernant ton livre ,j'ai l'impression qu'il vit.
En faisant 2 minutes de recherches sur le google j'ai trouvé cet article
Criteria for the Irreducibility of Polynomials
H. L. Dorwart, Oystein Ore
Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 34, No. 1 (Jan., 1933), pp. 81-94
doi:10.2307/1968341
cf. <http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X(193301)2:34:1<81:CFTIOP>2.0.CO;2-T>
Cependant je n'ai pu lire que la première page de cette référence
Savez vous comment pouvoir le lire en entier ?
Sincèrement,
Galax
Le système JSTOR impose d'être inscrit pour pouvoir lire les articles en entier, sinon, tu n'as le droit qu'à la première page. Essaie de l'obtenir éventuellement via Zentralblatt Math, ou tape le titre de l'article dans Google...Parfois, on tombe sur des articles préprint qui sont reliés.
Depuis cet article de 1933, d'autres ont été publiés, en particulier sur l'absolue irréductibilité de polynômes de plusieurs variables via les polytopes de Newton.
Il me semble en outre important de connaître ces polygones/topes de Newton, car on a là une méthode facile à mettre en oeuvre, et assez efficace, tant que les coefficients ne sont pas trop gros.
De toute façon, en matière d'irréductibilité, il n'y a pas, à mon sens, une méthode qui prime sur une autre...
Salut bs,
Je te remercie pour ton jugement sur mon livre, et, comme tu l'as sans doute compris, ma participation sur ce forum constitue en quelque sorte un "service après-vente" concernant ce bouquin !
A bientôt,
Borde.
lolo
merci pour ton indication à propos de Zentralblatt Math
sincèrement Galax
<BR>
<BR>A titre d'exemple, j'aime bien l'article suivant, qui apporte pas mal d'informations : <B>Shuhong Gao</B>, <B>Absolute irreducibility of polynomials via Newton polytopes</B>, Journal of Algebra <B>237</B> (2) (2001), 501-520.
<BR>
<BR>Borde.<BR>
Olivier, c'est une discussion ancienne, en voici quelques extraits...:
"borde: c'est cela, bs, tu es toujours à la pointe ! Ore, me semble-t-il, était norvégien (Lolo confirmera ou infirmera). Pourrais-tu rappeler son lemme ?
bs: c'est en prépa agreg que notre professeu(se) de théorie des groupes nous a énoncé et démontré ce lemme d'Ore:
Si p est le plus petit facteur premier du cardinal de G, alors , un sous-groupe d'indice p ,s'il en existe,est normal dans G.
borde: Je connaissais ce résultat sous le nom de "théorème de Burnside"..."
Voilà la réponse de ma professeuse à qui j'avais part de ta remarque:
Bonjour Bernard,
et bonne année (s'il est encore temps de la souhaiter...). J'ai manqué d'oxygène ces temps-ci, et c'est pourquoi je te réponds si tard à propos du "lemme d'Ore".
Voici ce que j'ai trouvé sur cet algébriste:
Ore, Oystein (1899-1968)
Norwegian mathematician whose work concentrated on the fields of abstract algebra, number theory, and the theory of graphs.
Ore was born in Christiania (now Oslo), and studied at Oslo University, briefly visiting the University of Göttingen, Germany, where he was influenced by mathematician Emmy Noether. In 1926 he became professor at Oslo, but moved a year later to Yale in the USA. In 1945 he returned to Norway.
Ore investigated linear equations in noncommutative fields, summarizing his work in a book on abstract algebra 1936. He then turned to an examination of number theory, and in particular of algebraic numbers.
Ore also wrote a book (1967) on the four-colour problem, the theory that maps require no more than four colours for each region of the map to be coloured but with no zone sharing a common border with another zone of the same colour. German mathematician August Möbius had raised this problem 1840.
Le "lemme d'Ore" est attribué a Frobenius dans le Francinou page 7, mais Ore a trempé là dedans: voir Dubreuil, Theorie des groupes, chez Dunod.
(je crois finalement que c'est dans des notes de cours de Pascal que je l'ai vu pour ma part, alors que je croyais le retrouver dans Francinou...).
On peut trouver une généralisation due a Ore dans le Theory of groups de Marshall Hall (ouvrage que je ne connais pas).
Bonne journée.
Francinou et Gianella, Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1, Masson, 1994 (exercice 1.7, p. 7).