nombre premier

tata0 · October 2006

Bonjour
Est-ce qu'il y a équivalence entre n est premier et pour tout i compris entre 1 et n-1 on a pgcd(i,n) = 1 ?
En fait, il y a un problème dans le sens :
Pour tout i compris entre 1 et n-1 on a pgcd(i,n) = 1 => n est premier !
Quelle en est la démonstration ?
Merci

arno_nora · October 2006

bonjour,
si pour tout i compris entre 1 et n-1 on a pgcd(i,n)= 1
alors supposons n non premier.

Alors tout nombre non premier admet un diviseur autre que 1 et lui même.
Ainsi il admet un nombre entre 2 et n-1 qui le divise, notons d ce diviseur.
pgcd(n,d)=d. Or d est différent de 1, ce qui contredit l'hypothèse.

tata0 · October 2006

ah oui c'est ça
merci beaucoup !

jobherzt · October 2006

en fait, tu peur meme t'arreter a $\sqrt{n}$.

superman · October 2006

mettre ce probléme dans la catégorie (L3/M1) !!!

sasuke0 · October 2006

superman vaniteux?

egoroff · October 2006

Pourquoi faire un raisonnement par l'absurde ? On peut montrer directement que si $n$ n'est pas premier alors il existe $d < n$ tel que $\mathrm{pgcd}(d,n)>1$.

Gaston_L · October 2006

ben ça revient pas au même ?

ok c'est plus court mais sinon les arguments sont les mêmes... me trompé-je ?

nombre premier

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