Polynôme irréductible bis
Bonjour,
Montrer que x^n/n!+...+x^2/2!+x+1 est irreductible pour tout n>=2.
Montrer que x^n/n!+...+x^2/2!+x+1 est irreductible pour tout n>=2.
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Réponses
Il s'agit d'un cas particulier d'un théorème d'irréductibilité dû à Schur. Voir par exemple \lien {http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/1265/http:zSzzSzwww.math.scarolina.eduzSz\~{}filasetazSzpaperszSzschurpaper.pdf/filaseta91generalization.pdf}
Pour les amateurs, je complète l'exercice de Julien par celui-ci :
On pose $P(x) = x^{16}-8x^{15}-4x^{14}-2x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-...-x-1$ et $Q(x) = (2x-1)P(x)$.
1° Expliquer pourquoi $Q(x)$ a exactement une racine $\alpha$ telle que $|\alpha| \geqslant 1$.
On pourra utiliser le résultat suivant :
{\bf Lemme 1}. Soient $f(x),g(x) \in \C[x]$ tels que l'inégalité {\bf stricte} $|f(z)+ g(z)| < |f(z)| + |g(z)|$ ait lieu pour tout $z \in \C$ tels que $|z|=1$. Alors, $f$ et $g$ ont même nombre de racines (comptées avec multiplicité) dans le disque $|z| < 1$.
2° En déduire que $P$ est irréductible sur $\Z$.
On pourra utiliser :
{\bf Lemme 2}. Si $f(x) \in \Z[x]$ est un polynôme unitaire, tel que $f(0) \not = 0$, et ayant exactement une racine $\alpha$ telle que $|\alpha| \geqslant 1$, alors $f(x)$ est irréductible sur $\Z$.
Borde.