Famille libre et récurrence

régis8 · October 2006

Je voulais savoir si ma résolution de l'exercice suivant était correcte. Voici l'énoncé de l'exercice:

Soit E un espace vectoriel et u $\in$ L(E) (applications linéaires) non nulle telle que $u^n$ = 0 ($u^n$ = u o u o ... o u composée n fois). Prouver que la famille (Id, u, ..., $u^n^-^1$) est libre dans L(E).

J'ai procédé ainsi:

alpha1.Id + alpha2.u + ... + alphan.$u^n^-^1$ = 0
$\Rightarrow$
u(alpha1.Id + alpha2.u + ... + alphan.$u^n^-^1$) = u(0)
$\Rightarrow$
alpha1.u + alpha2.$u^2$ + ... + alphan.$u^n^-^1$ = 0 (surement erreur ici)
$\Rightarrow$
alpha1.u + alpha2.$u^2$ + ... + alpha(n-1).$u^n^-^1$ = 0 car $u^n$ = 0
etc... n-1 fois
$\Rightarrow$
alpha1.$u^n-1$=0 $\Rightarrow$ alpha1=0.
Puis on remonte de proche en proche on trouve que tous les alpha sont nuls.

Je pense qu'il y a des erreurs dans mon raisonnement. J'ai tenté de passer par la récurence, en disant Pn: alpha1.Id + alpha2.u + ... + alphan.$u^n^-^1$ = 0 $\Rightarrow$ (alpha1, .., alpha n) = (0, ..., 0).
J'initialise sans pb à n=1, puis en partant de Pn, j'arrive à Pn+1:
alpha1.Id + alpha2.u + ... + alpha(n+1).$u^n$ = 0 $\Rightarrow$ (alpha1, .., alpha n) = (0, ..., 0) car alpha1.Id + alpha2.u + ... + alphan.$u^n^-^1$ = 0 d'après Pn et car $u^n$ = 0.

Peux t on procéder ainsi par récurrence?

Merci grandement.

CQFD · October 2006

On suppose que $u^n=0$ et $u^{n-1}\ne 0$. Il existe $x\in E$ tel que $u^{n-1}(x)\ne 0$.
Alors de $\alpha_{0}Id+\alphau_1+\cdots+\alpha^{n-1}u_{n-1}=0$, il vient :
$(\alpha_{0}Id+\alpha_{1}u+\cdots+\alpha_{n-1}u^{n-1})(x)=0$
En composant par $u^{n-1}$ :
$u^{n-1}(\alpha_{0}Id+\alpha_{1}u+\cdots+\alpha^{n-1}u_{n-1})(x)=0$
soit $\alpha_0 u^{n-1}(x)=0$.
Comme $u^{n-1}(x)\ne 0$, il vient $\alpha_0=0$.
En composant par $u^{n-2}$, il vient $\alpha_1=0$, etc

Sigma · October 2006

Les deux preuves m'ont l'air juste (elles m'ont l'air similaires, mais celle de CQFD est bien mieux rédigée, l'idée ayant été saisie par régis).

Pour CQFD: une toute petite remarque de rigueur. L'énoncé ne dit pas que $n$ est le plus petit entier tel que $u^n=0_{L(E)}$, ce qui empeche de donner l'existence de ton $x$ car rien ne dit que $u^{n-1} \neq 0_{L(E)}$.

Il faut donc ajouter ça dans l'énoncé, car sinon le résultat et faux. En effet, si $n$ n'est pas le plus petit entier vérifiant cette propriété, $u^n=0$ et $u^{n-1}=0$ auquel cas la famille $(Id, u, ..., u^{n-1})$ ne peut être libre car elle contient au moins un élément nul.

En revanche l'existence de $n$ tel que $u^n=0_{L(E)}$ montre que l'ensemble d'entiers:
$$
I=\{ p \in \N, u^p=0_{L(E)} \}
$$
est non vide et admet donc un plus petit élément $m$. On peut alors montrer que $(Id, u, ..., u^{m-1})$ est libre en suivant le même raisonnement.

Enfin une remarque pour la modération: niveau M2/++, c'est un peu exagéré... L1/L2 fera l'affaire.

@+

CQFD · October 2006

En effet, je n'ai pas précisé que je supposais que $n$ était le plus petit entier tel que $u^n=0$ (cela me semblait "sous-entendu" d'après l'énoncé de régis)

Famille libre et récurrence

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