Classes de conjugaison dans $\mathfrak S_4$

Bibaloo1 · October 2006

Bonsoir
Je suis sur un exercice à propos du groupe symétrique $\mathfrak S_4$ !
On me demande le nombre de classes de conjugaison de ce groupe. Je ne vois pas comment faire, autrement que de vérifier un à un les relations entre les différents éléments du groupe... Alors, si vous avez une astuce à me fournir, ou si vous connaissez un théorème ou une proposition que j'aurais pu oublier, merci de me le dire !
Bonne soirée,

Bibaloo

héhé · October 2006

y a autant de classes de conjugaison de S4 que de "de facon de construire les elements de S4"

càd : (12), (123), (1234), (12)(34)

donc, y en a 4 si j en ai pas oublié.

héhé · October 2006

5 car j ai oublié identité

Bibaloo · October 2006

Merci de ta réponse rapide !
Peux-tu me dire juste comment tu sais ça ? Enfin, je veux dire, c'est quelque chose d'énoncé dans un cours ou bien c'est une déduction que j'aurais du faire ?
J'ai du mal avec ces classes de conjugaison...
Merci encore !

héhé · October 2006

Dans mes cours, c est une propriété qu on a énoncé en rapport avec les longeurs des permutations.
Je ne saurais pas refaire la démonstration comme ca.

Bibaloo · October 2006

Ok ! Merci !
Alors puis-je dire que deux permutations sont conjuguées si elles ont le même ordre ?

héhé · October 2006

Oui. C est ca.

Bibaloo · October 2006

Merci !!!
Bonne soirée à toi !

héhé · October 2006

De même.

Alain Debreil · November 2006

Bonsoir Bibaloo

Ben, non ! Le contre-exemple t'a été donné par Héhé :
$(1,2)$ et $(1,2)(3,4)$ sont deux permutations d'ordre 2 et pourtant pas conjuguées, car la première est impaire alors que la seconde est paire.

La bonne formulation est plutôt :
(1) Deux cycles sont conjugués ssi ils ont même ordre.
(2) Deux permutations sont conjuguées ssi elles se décomposent en le même nombre de cycles conjugués à supports disjoints.

Le (1) peut se prouver en exhibant une permutation de conjugaison.
Dans $\frak{S}_n$, le cycle $\gamma=(a,b,\ldots,k)$ d'ordre $\ell$ est conjugué au cycle $\gamma_0=(1,2,\ldots,\ell)$ par la permutation $$ \sigma = \begin{pmatrix}
1&2&\cdots&\ell&\ell+1&\cdots&n \\
a&b&\cdots&k&i_{\ell+1}&\cdots&i_n \end{pmatrix}
$$ où les $i_{\ell+1},\cdots,i_n$ sont les entiers de $1,\ldots,n$ différents de $a,b,\ldots, k$, pris dans un ordre quelconque. Alors $$(a,b,\ldots,k) = \sigma \circ (1,2,\ldots,\ell) \circ \sigma^{-1}$$ En effet, $\sigma^{-1}(a)=1$ qui se transforme par $\gamma_0$ en $2$ et $\sigma(2)=b$, et pareillement pour $2,\ldots,k$.
Puis $\sigma^{-1}(i_{\ell+1}) = \ell+1$ qui est inchangé par $\gamma_0$ et donc redonne $i_{\ell+1}$ par $\sigma$, et pareillement pour $i_{\ell+2},\ldots,i_n$.

Le (2) se montre de la même manière puisque les cycles constituants la permutation sont à support disjoints (il y a quand même du travail pour exhiber la permutation de conjugaison !).

Alain

Pilz · November 2006

Le nombre de classe de conjugaison de $S_n$ est le nombre de partition de $n$. Par exemple pour $n=4$ on a $4=1+1+1+1$ (correspond à la classe de l' identité), $4=1+1+2$ ( correspond aux 2-cycles comme $(1,2)$), $4=2+2$ ( les éléments de la forme $(1,2)(3,4)$), $4=1+3$ ( les 3-cycles), $4+4$ ( les 4-cycles). Et il n' y a pas d' autres manières de partitionner $4$.

e=mc3 · November 2006

tiens en lisant ce poste je me suis dit classique.
Et puis j'ai relu attentivement certaines interventions et je m'interroge sur certains résultats que je pensais avoir vus dans le Perrin mais qui semblent en fait en être des prolongements (quasi immédiats) . Finalement on ne trouve ces résultats ni dans les Francinou (agreg Tome I, oraux XENS tome I), ni dans le Gourdon. Peut être ai je mal cherché.

Alain:
"Deux permutations sont conjuguées ssi elles se décomposent en le même nombre de cycles conjugués à supports disjoints. "
Peut s'énoncer de manière plus pragmatique
"Deux permutations sont conjuguées ssi elles se décomposent en le même nombre de cycles de même longueur à supports disjoints. "

Pilz
"Le nombre de classe de conjugaison de Sn est le nombre de partitions de n"
Cela découle directement de ma reformulation de la proposition d'Alain.

Pilz · November 2006

oui j' aime bien ce nombre ,$p(n)$, c'est aussi le nombre de classe de conjugaison des matrices nilpotentes, le nombre de groupe abéliens de cardinal de cardinal$q^n$ où $q$ est un nombre premier...

et puis il y a le formidable équivalent de Ramanujan...

e=mc3 · November 2006

peux tu creuser un peu Pilz, tu nous mets l'eau à la bouche.
As tu une référence où ces résultats sont énoncés (et accessoirement démontrés)?

Pilz · November 2006

Ce que je dis pour les matrices nilpotentes se voit avec la réduction de Jordan, les blocs qui interviennent ont des $0$ sur la diagonale et des $1$ sur la surdiagonale ( une matrice nilpotente n' a que $0$ pour valeur propre). Il reste donc à choisir la taille de ces blocs sachant que la somme des tailles doit faire $n$ ( la taille de la matrice ).
Il y a donc $p(n)$ choix.
(Si tu connais les tableaux de Young , tu peux associer un tableau à une partition.)

Pour les groupes abéliens tu utilises le théorème de réduction des groupes abéliens, ton groupe $G$ est isomorphe à $\Z/d_1 \Z \times...\times \Z /d_r \Z$, où $d_{i-1}$ divise $d_i$.
Vu que j' ai pris un groupe de cardinal $q^n$ on doit avoir $d_i=q^{s_i}$.
De plus comme $d_1...d_r=q^n$ , on a $\sum s_i=n$.
On voit donc que choisir un tel groupe revient à choisir une partition de $n$.
Et du coup on peut généraliser si $a=p_1^{e_1}...p_r^{e_r}$ est la décomposition en facteurs premiers de $a$ alors le nombre de groupes abéliens de cardinal $a$ est $p(e_1)...p(e_r)$.

Il y a aussi la dimension de l' espace vectoriel des polynômes homogènes de degré $n$ dans $K[X_1,...X_n]$ qui vaut $p(n)$.

En fait les $p(n)$ sont très mal connus , il n' y a pas d' expression simple donnant $p(n)$.
Cependant Hardy et Ramanujan ont donné l' équivalent suivant :
$p(n) \sim A_n e^{\pi \sqrt{\frac{2}{3}(n-\frac{1}{24})}}$
où $A_n=\frac{1}{2n\sqrt{2}}( \frac{\pi}{\sqrt{6(\frac{n-1}{24})}}-\frac{1}{2(\frac{n-1}{24})^{\frac{2}{3}}})$.

Et cet équivalent colle parfaitement pour $n=200$ par exemple c'est quasiment la valeur exacte. Je trouve la formule assez hallucinante, Ramanujan disait qu'elle lui avait été inspirée dans son sommeil par une déesse indienne Namakal ( cela donne envie de se convertir au boudhisme!). Il parle de ça dans le tangente du premier trimestre 1998. Mais je crois que la preuve qui fait appel aux fonctions modulaire est difficile.

Si tu jettes un coup d' oeil dans le Hardy et Wright Number Theory tu verras tout un chapitre dessus le nombre de partition d' un entier avec notamment la formule :
$1+\sum p(n) x^n=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^k)...}$.

Voilà en espérant avoir satisfait un peu ta curiosité.

Pilz · November 2006

C'est pas dans tangente mais dans quadrature pour la formule de Ramanujan Hardy.

e=mc3 · November 2006

merci Pilz

Ce Ramanujan m'a toujours étonné, mais maintenant je comprends mieux: il fréquente Namakal!

Chez nous il y a les Nakamals. Rien à voir avec la déesse à priori: c'est un lieu où l'on consomme une racine (le kawa) qui a peut être des vertus mathématiques qui sait?!

anel · January 2015

Bonsoir,
exactement ce que je comprends moi aussi.
Merci.

BMaths · August 2019

Bonjour,
je remonte ce fil car je ne saisis pas la phrase suivante :
Le nombre de classes de conjugaison de Sn est le nombre de partition de n.

Pouvez-vous me l'expliquer ?
Merci !

Math Coss · August 2019

Une partition d'un entier $n$ est une suite décroissante d'entiers $(\lambda_1,\lambda_2,\dots)$ dont la somme est $\lambda_1+\lambda_2+\cdots=n$. (On peut considérer que c'est soit une suite finie, comme $(2,1,1)$, soit une suite nulle à partir d'un certain rang, comme $(2,1,1,0,0,\dots)$ en ajoutant des zéros qui ne servent à rien.) Ainsi, $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(2,1,1)$ est une partition de $n=4$.

Il est naturel d'associer à une partition $(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ avec $\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_k>0$ la classe de conjugaison des permutations comportant $k$ cycles disjoints : un $\lambda_1$-cycle, un $\lambda_2$-cycle, etc. Autrement dit, c'est la classe de conjugaison de \[(1,2,\dots,\lambda_1)(\lambda_1+1,\dots,\lambda_1+\lambda_2)\cdots(\lambda_1+\cdots+\lambda_{k-1}+1,\cdots,\lambda_1+\cdots+\lambda_{k-1}+\lambda_k).\]

Par exemple, la classe de conjugaison associée à $(2,1,1)$ est la classe de $(1,2)(3)(4)=(1,2)$ : c'est la classe des transpositions ($2$-cycles).

BMaths · August 2019

Je suis désolé, je reprends les mathématiques à ce niveau là et j'ai du mal à vous suivre. Mais, dans mes connaissances, voilà ce que j'ai :
1) Relation d'équivalence.
$\sigma R \sigma ' $ équivaut à $\sigma = \rho\circ\sigma ' \circ\rho^{-1}$.

2) Classe d'équivalence.
$Cl(\sigma)=\{\sigma' \in \mathfrak S_n\mid \sigma R \sigma'\}=\{\rho\circ\sigma' \circ\rho^{-1} \mid \rho \in \mathfrak S_n\}$

3) Partition.
$E=\bigcup\limits_{x\in E} Cl(x)$ ce qui donne $\mathfrak S_n=\bigcup\limits_{\sigma\in \mathfrak S_n} Cl(\sigma)$

Est-ce que, de cette égalité, on peut tirer quelque chose qui permette de conclure ?

Math Coss · August 2019

La définition de la relation d'équivalence est mal formulée. Pour $\sigma$ et $\sigma'$ dans $\mathfrak S_n$, on dit que $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjugués s'il existe $\rho$ tel que $\sigma=\rho\circ\sigma'\circ\rho^{-1}$.

Dans la décomposition de $\mathfrak S_n$, il y a une erreur de typographie bénigne (c'est $\mathfrak S_n=\bigcup_{\sigma\in S_n}\mathrm{Cl}(\sigma)$ qu'on aurait voulu lire) et une maladresse de formulation parce que la réunion est pleine de répétitions ($\mathrm{Cl}(\sigma)$ est répété autant de fois qu'il contient d'éléments).

Quoi qu'il en soit, ces éléments parlent de conjugaison dans n'importe quel groupe et ne disent rien du cas précis du groupe symétrique. Il faut ajouter un ingrédient important : la décomposition en produit de cycles à supports disjoints. Plus explicitement, toute permutation s'écrit de façon unique comme produit de cycles à supports disjoints. De plus, deux cycles de même longueur sont toujours conjugués (cela vient du fait que si $\sigma$ est le cycle $(i_1,\dots,i_r)$ et si $\rho$ est une permutation quelconque, alors $\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}$ est le cycle $(\rho(i_1),\dots,\rho(i_r))$) et des produits de cycles disjoints sont également conjugués (conséquence du même fait). On en déduit la description des classes de conjugaison.

SERGE_S · August 2019

Pour trouver toutes les classes de conjugaison dans $S_n$ il faut raisonner avec la décomposition en cycles disjoints.
Soit $\gamma$ une permutation de $S_n$, sa décomposition en cycle disjoint (est unique a permutation des cycles près), on pourra la noter ($i1$)($i2$)...($ik$). Par exemple dans $S_4$ $\gamma$=(2)(1)(1). Alors toute permutation $\lambda$ qui aura la même décomposition en cycles disjoints de $\gamma$ lui sera conjuguée.

Pour $S_4$ les différentes décompositions en cycles disjoints sont

(4) : un cycle de longueur 4
(2)(2) : deux cycles de longueur 2
(1)(1)(1)(1) : 4 cycles de longueur 1
(1)(3) : un cycle de longueur 1 par un cycle de longueur 3

Il y a donc 4 classes de conjugaison. Pour trouver la cardinalité de chacune d'elles il suffit de faire un petit exercice de dénombrement.
Par exemple |(4)| = 24/4 = 6. Il y a 4! facons d'écrire une permutation avec 4 éléments, et chaque permutation dans cette classe peut s'écrire de 4 façons différentes (un cycle de longueur r peut s'écrire de r façons différentes)

claude quitté · August 2019

Coucou, J'ai envie de faire joujou. Je sais c'est pas bien car cela va masquer le post du très sérieux Math Coss (salut à lui) qui se décarcasse pour expliquer la conjugaison et tout et tout.
Je monte le groupe symétrique $S_n$ avec $n=5$ :

[color=#000000]> n := 5 ;                     
> Sn := SymmetricGroup(n) ;
> Sn ;
Symmetric group Sn acting on a set of cardinality 5
Order = 120 = 2^3 * 3 * 5
> sigma := Sn ! (1,3)(2,4) ;
> sigma ;
(1, 3)(2, 4)
> PartitionClass(sigma) ;
[ 2, 2, 1 ]
[/color]

La partition $\lambda = (2,2,1)$ associée à la permutation $\sigma$ raconte que $\sigma$ possède deux cycles de longueur 2 et un cycle de longueur 1 (un point fixe).
Les partitions de $n=5$ : il y en a 7

[color=#000000]> Pn := Partitions(n) ;                                                    
> Pn ;
[
    [ 5 ],
    [ 4, 1 ],
    [ 3, 2 ],
    [ 3, 1, 1 ],
    [ 2, 2, 1 ],
    [ 2, 1, 1, 1 ],
    [ 1, 1, 1, 1, 1 ]
]
[/color]

Maintenant, je vais réaliser un truc un peu moins banal. Je vais prendre un anneau de base, $\Z$ par exemple, et monter au dessus un anneau de polynômes $A$ à $7 = \#\mathcal P_n$ indéterminées. En général les indéterminées, cela se note $X$, $T$, $X_1, X_2, \cdots$. Cela dépend du jour de la semaine. Mais cet après midi, les 7 indéterminées, j'ai envie de les noter comme les partitions. Pour échanger (?) en maths, on va dire les $X_\lambda$ pour $\lambda \in \mathcal P_n$. Voilà ce que cela donne :

[color=#000000]> Z := IntegerRing() ;                                     
> A := PolynomialRing(Z, #Pn) ;
> AssignNames(~A, [Sprintf("%o",lambda) : lambda in Pn]) ;
> A ;
Polynomial ring of rank 7 over Integer Ring
Order: Lexicographical
Variables: [ 5 ], [ 4, 1 ], [ 3, 2 ], [ 3, 1, 1 ], [ 2, 2, 1 ], [ 2, 1, 1, 1 ], [ 1, 1, 1, 1, 1 ]
[/color]

Puis je définis l'application $\phi : S_n \to A = \Z[X_\lambda, \lambda \in \mathcal P_n]$ qui à $\sigma$ associe $X_\lambda$ où $\lambda$ est le type (partition) de $\sigma$

[color=#000000]> phi := map < Sn -> A | sigma :-> ZP.Index(Pn, PartitionClass(sigma)) > ; 
> phi(sigma) ;
[ 2, 2, 1 ]
[/color]

Puis je vais faire déterminer la somme :
$$
S = \sum_{\sigma \in S_n} X_{\text{type}(\sigma)}
$$

[color=#000000]> S := &+[phi(sigma) : sigma in Sn] ;                                      
> S ;
24*[ 5 ] + 30*[ 4, 1 ] + 20*[ 3, 2 ] + 20*[ 3, 1, 1 ] + 15*[ 2, 2, 1 ] + 10*[ 2, 1, 1, 1 ] + [ 1, 1, 1, 1, 1 ]
[/color]

Cela dit que dans $S_5$, il y a 24 5-cyles, puis 30 4-cycles ...etc...
Of course $24 + 30 + \cdots + 10 + 1$, cela fait $5! = 120$

[color=#000000]> Un := [1^^#Pn] ;
> Un ;
[ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
> Evaluate(S, Un) ;
120
[/color]

Bon, j'avais envie de faire joujou. Je sais, j'en aurais peut-être eu l'occasion en participant à $8/2(4+4)$ (The Math Problem Dividing the Internet) mais on peut pas tout faire.

Classes de conjugaison dans $\mathfrak S_4$

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