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Pourquoi poses-tu cette question? Dans quel cadre envisages-tu cette situation?

Deux choses :

1) Les matrices à coefficients dans un anneau sont parfaitement définies et, dans ce cadre, la notion de déterminant est bien définie (grosso modo, on prolonge la "formule").

2) Si tu te donnes un corps $K$, alors $K$ s'injecte canoniquement dans l'anneau $K[X]$ (les éléments de $K$ s'identifient aux polynômes constants). Ainsi, les matrices à coefficients dans $K$ s'identifie canoniquement à des matrices à coefficients dans $K[X]$ et les multiplier par un polynôme a alors un sens mais pas sans avoir fait cette identification.

Le polynôme caractéristique est donc le déterminant d'une matrice à coefficients dans $K[X]$ et $XI$ est la multiplication de l'identité par $X$.

J'espère que cela clarifie les choses.

Ca sent la démonstration de gros sauvage du théorème Cayley-Hamilton :-p