groupe diédral

hello
de mémoire je ne suis pas groupiste (dixit JMA)
methode 1
revenir à la definition de distingue g^-1Hg est dans H
methode2
un groupe d'indice 2 est tj distingué
a+

C'est le noyau du déterminant. Sinon comme Fionat a dit, toutes les réflexions sont conjuguées dans le diédral donc aucune chance de trouver une sous-groupe distingué dans le coin. En fait c'est pire : le plus petit sous-groupe distingué contenant une réflexion donnée les contient forcément toutes et comme il contient de plus l'identité, il contient plus de la moitié des éléments du groupe et par le théorème de Lagrange il est égal au groupe entier.

Bonjour MathMan

Le groupe diédral $D_{2n}$ (comme tu le notes) est engendré par la rotation $r$ d'angle $\frac{2\pi}{n}$ et une symétrie $s$ par rapport à un rayon passant par un sommet du $n$-gone.
Considère l'application $f$ qui envoie un élément de $D_{2n}$ sur le nombre de fois $\pmod{2}$ que la symétrie $s$ apparait : $f(r)=0,\ f(s)=1$
Pour que ce soit un morphisme, il faut vérifier que les relations de $D_{2n}$ sont envoyées sur 0 (neutre de $\Z/2\Z$ ) par $f$ :
$f(r^n)=0$
$f(s^2)=f(s.s)= 2 = 0 \in (\Z/2\Z,+)$
$f\big((rs)^2\big)=f(rsrs) = 2 = 0 \in (\Z/2\Z,+)$
$f$ est donc un morphisme dont le noyau contient toutes les rotations $r^k$ donc est d'ordre au moins $n$, mais ne peut être $2n$ puisque $f$ n'est pas triviale ( $f(s)=1$ ). Donc $\ker f$ est formé exactement des $n$ rotations.

Le sous-groupe engendré par $s$ est $\{id, s\}$ puisque $s$ est d'ordre 2.
S'il était distingué, pour tout $g\in D_{2n}$ on aurait $g^{-1}sg=s$ (seul élément de $\{id,s\}$ qui soit d'ordre 2)
Prenons $g=r : r^{-1}sr = r^{-2}(rsrs)s = r^{-2}s$
et $r^{-2}s=s$ seulement si $r^{-2}=id$ c'est à dire l'ordre de $r$ divise 2
Donc le sous-groupe engendré par $s$ n'est distingué que si $n$ divise 2, c'est à dire :
$D_{2\times 1} \simeq \Z/2\Z$, ou bien
$D_{2\times 2} \simeq (\Z/2\Z)^2$ donc commutatif dans les 2 cas.

Alain

Bonjour,

"puisque $s$ est d'ordre 2"
Comment est-ce qu'on peut prouver que $s$ est d'ordre 2?
De meme, comment peut on prouver que $r$, la rotation de centre $O$ et de rayon $\frac{2\pi}{n}$, est d'ordre n?

Si on part de la definition de l'ordre, on doit prouver que :
$s^2=1$ et $r^n=1$,
quand je raisonne sur une figure, je vois bien que faire $n$ fois la rotation $r$ revient a l'identité, mais pourriez vous me donner une idée de depart pour le demontrer plus rigoureusement, car j'avoue que je ne sais pas trop par où commencer...
En vous remerciant d'avance.

Bonjour,

Merci beaucoup AD pour cette réponse très clair !

J'ai une autre question : pour prouver que $r\circ s$ est d'ordre 2, toujours en raisonnant sur une figure (mais c'est un peu moins évident que pour $s$), je vois bien que $(r\circ s)^2$ donne $Id$, donc l'ordre de $r\circ s$ divise 2, c'est donc soit 1 soit 2, or ça ne peut pas être 1 car $r\circ s \neq Id$, donc ça ne peut être que 2.
Mais ce qui me gêne c'est de partir de "$(r\circ s)^2=Id$" : certes, ca se voit sur une figure, mais comment le justifier plus rigoureusement ?
J'ai essayé de partir de : "soit $k$ l'ordre de $r\circ s$", et je veux essayer de prouver que $k=2$, mais je n'y arrive pas (je pense qu'il faut raisonner "géométriquement", mais je ne sais pas comment démarrer).

Je sollicitte votre aide encore une fois...
Merci d'avance.

Re-merci Alain !
Oui je connais les matrices, et je n'y avais pas pensé !
En fait, ca parait plus simple de prouver que $r \circ s$ est d'ordre 2 avec les matrices que geometriquement je trouve.

Par contre, "considerer les $n$ sommets $A_0, A_1, ... , A_n-1$ [etc...]" je l'ai utilisé pour prouver que le groupe des isometries d'un polygone possede $2n$ elements : (je me suis inspiré en d'un autre post de ce forum)

\begin{itemize}
\item $n$ rotations :
j'ai fixé $A_0$,
puis je dis qu'on obtient $A_1$ par la rotation d'angle $\frac{2\pi}{n}$
on a $A_2$ par la rotation d'angle $2.\frac{2\pi}{n}$
...
on a $A_{n-1}$ par la rotation d'angle $(n-1).\frac{2\pi}{n}$
on a $A_0$ par la rotation d'angle $n.\frac{2\pi}{n}$
=>Au total, on a besoin de $n$ rotations

\item $n$ symetries :
Le coté $A_1A_2$ est donné par la symetrie d'axe $OA_1$
...
Le cote $A_{n-1}A_0$ est donné par la symetrie d'axe $OA_{n-1}$
Le cote $A_0A_1$ est donné par la symetrie d'axe $OA_0$
=>au total il y a $n$ symetries
\end{itemize}

Donc au total, G possede $2n$ elements.

Pensez-vous que c'est correct?
Merci d'avance.

Bonjour Yoann

Ce que tu dis pour les rotations est correct et te permet d'exhiber les $n$ rotations.
Par contre pour les symétries, cela ne marche que si $n$ est impair.
Si $n$ est pair, la symétrie qui "donne" le coté $A_2A_1$ à partir de $A_0A_1$ te donne aussi $A_{\frac{n}{2}+2}A_{\frac{n}{2}+1}$ à partir de $A_{\frac{n}{2}}A_{\frac{n}{2}+1}$.

Tu peux par contre dire que le sommet $A_0$ va se transformer par symétrie en chacun des $n$ sommets (y compris $A_0$ ), et chaque symétrie est différente puisqu'elle envoie $A_0$ sur un sommet différent. Et la symétrie qui envoie $A_0$ sur lui-même n'est pas l'identité, car elle retourne l'orientation du plan, alors que l'identité non.
Cela donne les $n$ symétries recherchées.
A noter que si $n$ est pair, on obtient les symétries par rapport aux diagonales et les symétries par rapport aux apothèmes (droite joignant le centre au milieu d'un coté).
Si $n$ est impair, une diagonale d'un coté est apothème de l'autre coté.

Alain