ouverture et polynôme minimal

e=mc3
e=mc3
dans Algèbre
Bonjour
je m'intéresse aux propriétés topologiques des endomorphismes vérifiant une propriété sur leur polynome minimal.

Dans un premier temps je souhaiterais montrer que l'ensemble des endomorphismes d'un R ev de dim n dont le polynome minimal est de degré supérieur ou égal à n-1 est ouvert.

L'argument de Mneimé p40 consiste à donner le lien entre polynome caractéristique $P$ et polynome minimal $\pi$ de $A$ moyennant le polynome PGCD $G$ des coef de la comatrice de de $A-XI$:
$\pi=P/G$

Mneimé nous dit que cela résulte du fait que si deux polynomes sont premiers entre eux ils le sont encore pour des polynomes suffisamment proche. ok cela permet de montrer l'ouverture pour les endo dont le poly min est de degré n (PGCD=1). Sinon je ne vois pas

Mneimé dit qu'un autre argument consiste à considérer un $x_0$ tel que $(x_0,A(x_0),...,A^{n-1}(x_0))$ soit une base (puis pas continuité encore une base pour A' suffisamment proche de A). Commment trouve-t-il un tel x_0 si l'endo n'est pas cyclique (ie $G\neq 1$ ou encore $deg (\pi)=n-1$

Réponses

  • dark vador0
    dark vador0
    hello
    Mneimé nous dit beaucoup de choses fumantes , je l'ai pratiqué en direct live!
    regardes le gourdon,la RMS?
    a+
  • Archimède
    Archimède
    Il existe $x_0$ vecteur tel que
    $(x_0,A(x_0),...,A^{n-2}(x_0))$ soit un système libre.
    Il en sera donc de même si l'on remplace $A$ par une matrice carrée $B$ suffisamment voisine. Donc le polynôme minimal de $B$ sera de degré $\geq n-1$.
  • Archimède
    Archimède
    Il suffit de prendre un $x_0$ tel que $\mu_{A,x_0}=\mu_A$. On sait qu'un tel $x_0$ existe toujours.
  • Mézalor
    Mézalor
    Bonjour,

    Même pas la peine de prendre un tel $x_0$. En effet, l'application $u \mapsto (e, u, \ldots, u^{n-1})$ est continue, tandis qu'on sait bien que le rang d'une famille de vecteurs ne peut, localement, qu'augmenter. Donc $\{u; \deg(\pi_u) \geq r\}$ est ouvert.

    Cordialement,

    Mézalor.
  • e=mc3
    e=mc3
    Merci à vous

    Archimède
    je m'étais laissé impressioné par l'exposant n-1. Je résume ton argumentation
    a) Il existe un $x_0$ tel que $\\mu_{x_0}=\mu_A$
    b)$deg P_x=deg (\mu_A) \geq n-1n$ donc $dim E_{x_0}\geq n-1$
    donc dans tous les cas de figure (n ou n-1)
    $(x_0,A(x_0),...,A(x_0)^{n-2})$ est une famille libre
    c)Pour B voisin de A c'est encore une famille libre donc $deg P_{B x_0}\geq n-1$ (puisque $P(B)(x_0)=0=> P=0 si deg P\leq n-2$)
    comme un polynome minimal ponctuel d'un endo divise toujours sont polynome minimal on conclut que $deg \mu_B\geq n-1$

    Mézalor
    comment fais tu pour ne pas considérer un tel $x_0$ si tu prends un x tel que le rang de $(x,A(x),...,A^{n-1}(x))$ est par exemple n-3 ça te fait une belle jambe de savoir que le rang ne peut qu'augmenter localement tu ne pourras jamais en conclure autre chose que le degré du polynome minimal dans un voisinage de A sera supérieur ou égal à n-3


    sinon concernant l'argment $\pi=P/G$ je ne vois toujours pas
  • Archimède
    Archimède
    En fait l'argument de Mézalor est le suivant :
    $\hbox{deg}\,\mu_A$ est le rang du système de vecteurs $(I_n,A,A^2,...,A^{n-1})$ de l'espace vectoriel ${\cal M}_n(K)$ avec $K=\R$ ou $\C$.
    Et si $(I_n,A,A^2,...,A^{n-1})$ est de rang $r$, par continuité, pour $B$ suffisamment voisin de $A$, $(I_n,B,B^2,...,B^{n-1})$ sera de rang $\geq r$.
  • Archimède
    Archimède
    On note ${\cal F}_r$ l'ensemble des $A\in{\cal M}_n(K)$ tels que $\hbox{deg}\,\mu_A=r$ (avec $K=\R$ ou $\C$).
    L'adhérence de ${\cal F}_r$ est-t-il l'ensemble des $A\in{\cal M}_n(K)$ tels que $\hbox{deg}\,\mu_A\leq r$ ?
  • e=mc3
    e=mc3
    Effectivement Archimède, je ne raisonnais pas dans le bon espace vectoriel.

    Notons $\mathcal(G)_r$ ton 2ème ensemble
    -$\mathcal(G)_r$ est clairement fermé comme complément d'un ouvert
    -$\mathcal(F)_r \subset -$\mathcal(G)_r$ donc
    $\overline(\mathcal(F)_r )\subset -$\mathcal(G)_r$
    -pour l'inclusin dans l'autre sens on approche une matrice de rang p par une matrice de rang r
    (I_p 0 0)
    (0 1/nI_{r-p} 0) (en faisant tendre n vers l'infini)
    (0 0 0)


    Sinon tu ne vois pas ce que veut dire Mneimé lorsqu'il veut utiliser le lien entre polynomes minimal et caractéristques via le PGCD ci-dessus?
  • Archimède
    Archimède
    Soit <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img1.png&quot; ALT="$ s<r$"></SPAN>.
    <BR>Soit <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img2.png&quot; ALT="$ B$"></SPAN> tel que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="79" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img3.png&quot; ALT="$ \hbox{deg}\,\mu_B=s$"></SPAN>.
    <BR>Il faudrait construire une suite <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="97" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img4.png&quot; ALT="$ A_k\in{\cal M}_n(K)$"></SPAN> telle que
    <BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="85" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img5.png&quot; ALT="$ \hbox{deg}\,\mu_{A_k}=r$"></SPAN>
    <BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="60" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img6.png&quot; ALT="$ A_k\to B$"></SPAN>.
    <BR>Et envisager les cas <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="50" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img7.png&quot; ALT="$ K=\mathbb{R}$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="50" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img8.png&quot; ALT="$ K=\mathbb{C}$"></SPAN>.
    <BR>
    <BR>PS Le rang de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101453/cv/img2.png&quot; ALT="$ B$"></SPAN> ne détermine pas son polynôme minimal...<BR>
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Effectivement Archimède, je ne raisonnais pas dans le bon espace vectoriel.

    Notons $ \mathcal{G}_r$ ton 2ème ensemble
    $\bullet\quad \mathcal{G}_r$ est clairement fermé comme complément d'un ouvert
    $\bullet\quad \mathcal{F}_r \subset -\mathcal{G}_r$ donc $\overline{\mathcal{F}_r } \subset -\mathcal{G}_r$
    $\bullet\quad$Pour l'inclusion dans l'autre sens on approche une matrice de rang $p$ par une matrice de rang $r$ : $$\begin{pmatrix}
    I_p& 0& 0 \\
    0 &{\frac{1}{n}}I_{r-p}& 0 \\
    0& 0& 0 \end{pmatrix}
    $$ en faisant tendre $n$ vers l'infini.
    Sinon tu ne vois pas ce que veut dire Mneimé lorsqu'il veut utiliser le lien entre polynômes minimal et caractéristique via le PGCD ci-dessus ?
  • e=mc3
    e=mc3
    Archimède je ne pense pas que distinguer les cas $\R$ ou $\C$ soient utile ici

    Tout matrice de rang p est équivalente à
    (I_p 0)
    (0 0)

    et l'on approche cette dernière par la matrice que j'ai donnée

    PS

    bizarre je n'avais pas rentré le latex d'une matrice et je retrouve une matrice. je me dis qu'un bienveillant modérateur est passé par là, je vais voir le code latex et il n'y a aucune commande de matrice comment est ce possible?
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir e=mc3

    Plus sérieusement, le fichier ouvert quand tu cliques sur "Code Latex" est toujours le fichier original que tu as posté.
    Les modifications apportées par les modérateurs n'y sont jamais présentes.
    Pour voir le code LaTeX, sous Internet Explorer, tu mets la souris sur l'image et le code LaTeX apparait dans une bulle.
    Sous FireFox, tu sélectionnes l'image et clic droit, Copier (attention pas Copier l'image) et tu fais Coller dans la fenêtre de saisie et le code LaTeX apparait.

    Alain
  • dSP0
    dSP0
    Archimède a raison, il faut distinguer le cas de
    $\R$ et celui de $\C$.
  • e=mc3
    e=mc3
    DSP je ne vois pas pourquoi.

    Merci Alain Debreil
    [A ton service :) AD]
  • Archimède
    Archimède
    Réponse à e=mc3 :

    La condition étudiée est $\hbox{deg}\,\mu_A\leq r$ et non $\hbox{rg}\,A\leq r$.

    De plus on parle ici de matrices semblables et non de matrices équivalentes.
    Dans le cas $K=\C$ on peut considérer la réduite de Jordan.
  • dSP0
    dSP0
    e=mc3 :

    je ne vois pas comment une matrice de $M_4(\R)$ dont le polynôme minimal est $X^2+1$ (y'en a...) pourrait être la limite d'une suite de matrices dont le polynôme minimal est de degré 3 (continuité du spectre...).
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