Norme matricielle

Zantac · November 2006

Bonjour,

j'ai une épine dans le pied dont je n'arrive pas à me débarasser.

Soit $A$ un endomorphisme inversible n'ayant pas de valeur propre de module $1$. Il existe alors une décomposition de $\R^n$ en somme directe de $E^{+}$ et $E^{-}$, et une norme sur $\R^n$, dite adaptée, telle que $A_{E^{+}}^{-1}$ < k < 1 et $A_{E^{-}}^{-1}$ < k < 1. A est dite hyperbolique.

En fait, $E^{+}$ correspond au sous-espaces correspondant aux valeurs propres de module $ >1$ dans la décomposition de Jordan, et analogue $

Zantac · November 2006

Il faut lire telle que $||A_{E^{+}}^{-1}|| < k < 1$ et $||A_{E^{-}}|| < k < 1$ (pas de puissance $(-1)$ pour le deuxième.

Ma~0 · November 2006

La décomposition de Jordan sur $\mathbb R^n$ ?

bosio frederic0 · November 2006

La norme donnee par le rayon spectral est insuffisante...simplement parce que n'est pas une norme (il existe des endomorphismes non nuls de rayon spectral nul, les nilpotents).

Zantac · November 2006

Ah effectivement ce n'est même pas une norme... Comment donc construire la bonne norme ?

Merci déjà pour vos avancées

bs1 · November 2006

Bonjour Zantac,

cf: le problème d'agreg.externe Analyse de 2004 consacré aux endomorphismes hyperboliques; la question 2.6 de la seconde partie répond à ta question.
Tu trouveras sans difficulté énoncé (et corrigé ) sur le net.

Guego0 · November 2006

Quand on a une matrice carrée $M$, si son rayon spectral est inférieur (strictement) à 1, on peut trouver une norme d'algèbre sur $M_n(\R)$ telle que $||M|| < 1$.

Dans ton cas, tu as une norme $||.||_-$ sur $E^-$ telle que $||A_{E^-}||_- < 1$.
De même, il existe une norme $||.||_+$ sur $E^+$ telle que $||A_{E^+}^{-1}||_-+< 1$.

Comme norme sur $E$, tu peux alors poser $||.|| = ||.||_+ + ||.||_-$, ou le max des 2 normes, ou la racine de la somme des carrés...

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