rang,signature d'une forme quadratique
Bonjour
<BR>Comment calcule-t-on le rang et la signature de :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="366" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101461/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline Q(x_1,\ldots,x_n)=x_1 x_2+x_2 x_3+\ldots+x_{n-1} x_n+x_n x_1 $"></DIV><P></P>
<BR>Comment calcule-t-on le rang et la signature de :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="366" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/15/101461/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline Q(x_1,\ldots,x_n)=x_1 x_2+x_2 x_3+\ldots+x_{n-1} x_n+x_n x_1 $"></DIV><P></P>
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Réponses
Comment calcule-t-on le rang et la signature de : $$
Q(x_1,\ldots,x_n)=x_1 x_2+x_2 x_3+\ldots+x_{n-1} x_n+x_n x_1 $$
En utilisant la " réduction de Gauss" et une récurrence, j'ai trouvé :
pour n plus grand que 2,
Si n= 2k , alors la signature est (k,k).
Si n = 2k+1, k impair, alors la signature est (k+1, k).
Si n = 2k +1, k pair, alors la signature est ( k , k+1).
Amicalement.
Si je ne me souviens bien, ton résultat n'est pas tout à fait correct. \`A titre de contre-exemple (je peux me tromper) :$$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_1 = (x_1 + x_3)(x_2 + x_4) = \frac 1 4\big((x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2 - (x_1 - x_2 + x_3 - x_4)^2\big)$$ce qui donne une signature $(1,1)$ est un rang $2$.
Bruno
Bruno
Effectivement, Bruno, je me suis planté.
Je vais revoir tout cela.
Amicalement.
Pour loulmet : si on ne se plantait jamais, qu'est-ce que ce serait ennuyeux... Et qu'est-ce que j'ai ragé et souffert d'avoir donné un TD mal préparé la première fois :-)
Bruno
Je vous soumets cette preuve :
La matrice $\tilde{Q}$associée à $2Q(x_1,\dots,x_n)$ est $J + J^{n-1}$où $J$ est la matrice de permutation associée au $n-$cycle $(1,2,\dots,n)$, $ie$ avec une sous-diagonale formée de $1$ et nulle partout ailleurs, sauf en haut à droite, où elle vaut $1$.
Les valurs propres de $J$ étant les racines de l'unité $\omega \in \U_n$ ($J^n = I$), les valeurs propres de $\tilde{Q}$ sont les $\omega + \omega^{n-1} \in \R$.
Il y a autant de valeurs propres positives que de $\omega + \omega^{n-1}$ de partie réelle positive, etc. Cela fournit le calcul de la signature de $Q$ suivant les résidus modulo $4$ de $n$.
Question subsidiaire : sans calculer les valeurs propres, arrivez-vous à calculer facilement le polynôme caractéristique $\chi_Q (T) = \sum a_i T^i$?
J'ai remarqué, et prouvé de manière fastidieuse, que $\chi_Q - a_0$ est un polynôme pair, ou impair (suivant la parité de $n$), tel que les signes des coefficients non nuls alternent. La règle de Descartes permet alors de conclure.
Qu'en pensez-vous?
Cordialement,
Ritchie
J' ai repéré mon erreur, qui était due à une amorce fausse de la récurrence pour le cas n pair.
Je confirme donc le résultat donné par Ritchie:
Si n = 4k, alors la signature est (2k -1, 2k-1)
si n = 4k +1, alors la signature est (2 k, 2k+1)
si n = 4k +2 alors la sigature est (2k , 2k )
si n = 4k+3 alors la signature est (2 k ,2 k+1 )
Amicalement
Pour Ritchie.
Calculer "facilement" n'est pas à ma portée. La seule chose que je puis dire sur ta question c'est que le polynôme $\chi_Q(T)$ est un polynôme symétrique par rapport aux valeurs propres de $T$ puisqu'il s'écrit :$$a_p\prod_{k=1}^n\Big(X - \chi_Q(\lambda_k)\Big)$$où $p$ est le degré de $\chi_q(X)$, $n$ la dimension de $T$ et $(\lambda_k)_{1 \leq k\leq n}$ est la famille des valeurs propres complexes de $T$ comptées avec leur ordre de multiplicité. Bien entendu, en appliquant le théorème sur les polynômes symétriques, on obtient l'expression du polynôme caractéristique de $\chi_Q(T)$ en fonction des coefficients du polynôme caractéristique de $T$. Certes ce polynôme est simple, mais bonjour les calculs quand même (peut-être avec mathematica ?) ; sans doute y avais-tu pensé avant de poser la question. Dans ce cas, désolé pour les redites.
Bruno
Pour Bruno : j'avais effectivement commencé à explorer cette piste, mais je la trouvait trop fastidieuse. Du coup, j'avais obtenu une relation de récurrence sur le polynôme caractéristique, et montré l'alternance des coefficients, appliqué la règle de Descartes, etc. Mais c'est assez fastidieux...
Cordialement,
Ritchie
Bruno
Cordialement,
Ritchie