Matrice nilpotente

Tom-0
Tom-0
dans Algèbre
Bonsoir,
Je bloque sur cet exo :

comment montrer que M de Mn(R) est nilpotente ssi il existe une suite (An) de matrices semblable à M et telle que An -> 0 ?

Réponses

  • dSP0
    dSP0
    Regarde la continuité des coefficients du polynôme caractéristique
    par rapport à la matrice considérée.
  • Tom-0
    Tom-0
    Polynôme car de M = PC de An -> PC de la matrice nulle par continuité

    Le polynôme caractéristique de la matrice M est donc (-1)^n X^n non ?

    [Corrigé selon ton indication. AD]
  • Tom-0
    Tom-0
    Je voulais dire de M.
  • Yop0
    Yop0
    Tiens, c'est l'une des questions que l'on m'a posé à mon oral d'agreg...

    Voilà pour le =>. Commence par trigonaliser. Tu as des zéros sur la diagonale. Je note la nouvelle base $(a_1,...,a_n)$. Considère la base $(a_1,\lambda a_2, ..., \lambda^n a_n)$ (ou quelque chose d'approchant) et fait tendre $\lambda$ vers $0$ ou l'infini.

    Le
  • Yop0
    Yop0
    La question que j'ai eu était en fait de caractériser le caractère fermé de la classe de similitude d'une matrice (il me semble). Le résultat donné par Tom- était un des résultats intermédiaires. Bref, Tom, voilà une suite pour ton exo...
  • Tom-0
    Tom-0
    Je suis d'accord pour la trigonalisation mais je ne vois pas quoi faire avec ta base :/
  • Yop0
    Yop0
    Regarde ce que deviens la matrice quand tu changes la base (en faisant varier le paramètre lambda). Si tu ne vois pas, commencer par regarder ce qu'il se passe en dimension 2 avec la matrice 0 1 // 0 0 par exemple.

    Le point de vue endomorphisme rendra peut-être les choses plus claires (c'est très souvent le cas).
  • Tom-0
    Tom-0
    La matrice de passage de la base de trigonalisation à ta base est diag(1,lambda,...,lambda^n-1).

    Dans ta base, la matrice semblable obtenue est avec des coef en lambda^i avec i toujours >=1 donc si je prends une suite lambda_k de réels tendant vers 0 la suite de matrices semblables obtenue tend vers 0.

    CQFD :D
  • Loin de Chevaleret...
    Loin de Chevaleret...
    De manière générale, tout matrice possède une matrice diagonale dans l'adhérence de sa classe de similitude. Par continuité du polynôme caractéristique, ce ne peut être que sa partie semi-simple.

    Pour continuer dans le « topologie des classes de similitude », deux autres exos (le premier ayant été évoqué plus haut) :

    Montrer que la classe de similitude d'une matrice est fermée si et seulement si la matrice est diagonalisable (on a déjà fait un sens).

    Montrer que l'adhérence d'une classe de similitude est une union finie de classes de similitude.

    Dans le genre trivial, mais qui peut tuer un élève de prépa, il y a aussi le fort sympathique : montrer qu'une classe de similitude n'est jamais ouverte (en moins d'une ligne).
  • alekk
    alekk
    si une classe de similitude contenait un ouvert, cette ouvert contiendrait deux matrices de spectre différent ?!
  • dSP0
    dSP0
    Une idée simple :

    si $M$ est nilpotente, alors $x.M$ est semblable à $M$ pour tout scalaire $x \neq 0$ (comparer les noyaux itérés).
  • Tom-0
    Tom-0
    *En considérant une matrice M non nulle nilpotente et une suite de matrices non nulles semblables à M tendant vers 0 on montre que la classe de similitude de M n'est pas fermée.


    *Si on suppose la classe de similitude ouverte on a pour M dans la classe de similitude et lambda plus petit que e>0, M - lambda I qui y est encore et on obtient que le déterminant de M - lambda I ne dépend pas de lambda dans [0,e] infini. Ce polynôme en lambda est donc nul puis M a une infinité de valeurs propres, contradictoire.

    Pour les autres exos, je crois que c'est trop dur pour moi :D (je ne suis qu'un taupin de PC :o)
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