groupe opérant

matt · November 2006

Bonjour à tous!
Moi j'ai un souci en ce qui concerne les opérations de groupe.
J'ai un exercice là, on se donne un ensemble X sur lequel agit un groupe fini d'ordre 156 et on suppose qu'un élément a de X a un stabilisateur d'ordre 12. Quel est le cardinal de l'orbite de a ?

Merci de me mettre sur la voie.

Guego0 · November 2006

Soit $x$ un élément de l'orbite de $a$. Montre que le nombre de $g \in G$ tel que $g.a = x$ ne dépend pas de $x$.
De là, tu peux en déduire le résultat sans trop de difficulté.

Alain Debreil · November 2006

matt · November 2006

Ah ben si bien sûr

je m'en veux de pas y avoir pensé tout de suite... C'est trop simple alors :P Merci en tous cas !

matt · November 2006

Juste une autre petite question, dans un autre exercice on me donne K un corps, Gl(2,K) qui opère sur K² (cad par A . X= AX ).
La question c'est combien d'orbite a cette opération.

J'ai pensé utiliser cette formule de nouveau en calculant donc l'ordre du stabilisateur. Stab(X) := {A$\in$Gl(2,K) / A.X=X} et ceci n'est possible que si A=Id(2). L'ordre est alors 1 ??

egoroff · November 2006

Attention tu ne peux utiliser ces formules que si $K$ est fini. Est tu sûr que le stabilisateur de $X$ est réduit à l'identité ? Prends par exemple $K=\R$, étant donné un vecteur $X$ du plan, quelles sont les bijections linéaires qui fixent $X$ ?

Guimauve · November 2006

Je crois que ce n'est pas une très bonne idée de chercher à utiliser la formule aux classes. Tu peux expliciter les orbites assez facilement. Quelle est l'orbite de 0 ? Quelle est l'orbite d'un vecteur non nul (que signifie l'inversibilité d'une matrice pour l'application linéaire associée ?) ?

Guimauve · November 2006

Grr !! C'est la 2e fois que cette question passe sur le forum, c'est la 2e fois que je réponds une connerie et que je m'en rends compte après coup.
Oublie mon message.

Soit X,Y deux vecteurs non nuls, dans quel cas existe-t-il une matrice A telle que Y=AX ? (il y a deux cas possibles : ou bien X et Y sont colinéaires, ou bien (X,Y) forme une base de K²).

matt · November 2006

D'accord je vais essayer ça ce soir après les cours :P merci !!!

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