Monoïde d'entiers

toutoune1 · November 2006

Bonjour

Je me demandais s'il existait des résultats intéressant sur l'ensemble des nombres entier de la forme : $ u p + v q$ où $p$ et $q$ sont premiers entre eux, $u,v \geq 0$ ?
On voit facilement que cette ensemble remplit $\N$ à partir d'un certain rang, mais sait-on majorer ce rang par exemple ?

L.de Max · November 2006

Il me semble que cette borne est $(p-1)(q-1)$, mais c'est un peu pénible à montrer.

En tous cas, on voit très facilement qu'elle est inférieure à $p^2q^2$.

Bonne chance.

lolo33 · November 2006

oui c''est bien (p-1)(q-1) ....et ce n'est pas trop difficile à prouver :

a) écrit toutes les solutions dans Z de up+vq = n en prenant u0 p + v0q =1 par exemple (on trouve ( u0n-kq, kp+v0n) k entier)
b) regarde quand tu as un k tel que u0n-kq>-1 et kp+v0n>-1)

Par contre pour trois nombre ..... la preuve est longue et le résultat...assez lourd, pour 4 je crois que c'est encore ouvert de trouver une formule exacte.....déjà vu ici il ya longtemps.

lolo

le ptit bonhomme · November 2006

Bonjour a tous!!

De maniere general,
pour un ensemble d'entiers positifs $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ tels que $pgcd(a_1,a_2,\dots,a_n)=1$, trouver le plus grand nombre entier ne s'ecrivant pas comme une combinaison lineaire a coefficients dans $\mathbb{N}$ des $a_i$ s'appelle le probleme de Frobenius.

On connait des encadrements de cette valeur, il y a des conjectures, c'est un vrai sujet de recherche.

Je n'ai pas de references chez moi, mais je peux en retrouver dans mon bureau a la fac. (...pas avant Lundi!!!)

Bien a vous,

Le p'tit bonhomme

Monoïde d'entiers

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 12