espace métrique

hyderi
hyderi
dans Algèbre
Salut,

Dans le cadre des espaces métriques, comment montrer que :

La distance d'un point $x$ de $E$ (ensemble) au fermé $F$ est nulle si et seulement si $x$ appartient à $F$ ?


Pour la première implication, c'est simple : si $x\in F$, alors $0 \le d(x,F) \le d(x,x)=0$

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Réciproquement, utilise la définition de l'inf pour trouver une "suite minimisante" c'est-à-dire une suite $x_n$ telle que $d(x_n,x) \to d(x,F)$.
  • la_bas_si_j_y_suis
    la_bas_si_j_y_suis
    Si la distance de $x$ à $F$ est nule alors $x$ appartient à l'adhérence de $F$ et comme $F$ est fermé....
  • Yop0
    Yop0
    Contrapose. Si tu n'es pas dans $F$ tu es dans son complémentaire, qui est ouvert...

    Egoroff : tu sembles dire que tu peux considérer que ta suite converge. Comment montres-tu cela ?
  • Yop0
    Yop0
    Egoroff : désolé j'avais mal lu. Mon message est par ailleurs inutile...
  • egoroff
    egoroff
    Oui, pour avoir l'existence d'un point minimisant dans le cas général on a besoin de faire converger la suite par exemple avec la compacité éventuelle du fermé. Mais le cas de la distance nulle est particulier.

    Je trouve quand même que c'est une très bonne idée de regarder la contraposée, ça donne deux démos sympathiques et assez différentes du même résultat.
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