polynôme caractéristique de matrice 5*5

additionne toutes les colonnes dans la colonne 1 (par exemple), tu auras ta colonne 1 uniquement composee de 2-x que tu t'empresses de mettre en facteur devant le det.
Puis en faisant des combinaisons lineaires de lignes judicieusement choisies on doit arriver a un truc plus simple pour dvloper par raport a une colonne et apres on doit pouvoir faire le meme coup avec le det 4*4 obtenu non?

excuse c'est juste que je suis un peu faineant et je me suis dit de loin que ca allait marcher.
alors une fois la mise en facteur faite je te propse :
L2 <- L2-L1
L3 <- L3-L1
L4 <- L4-L1
L5 <- L5-L1 (choix qui me parait tres peu judicieux mais g pas mieux a te proposer)

On dvlope par rapport a la premiere colone,tas un det 4*4 que je ne vois pas comment arranger donc tu dvlope un peu comme un sauvage et apres t'esperes un miracle pour que ton polynome ait des racines pas trop penible (genre t'essaie de -2 a 2)

si c'est pas le cas il faudra revenir au choix "judicieux" des combinaisons lineaires
peut-etre que quelqu'un te donnera une solution miracle dans quelque temps mais je doute que ce soit moi

En fait voilà ce que j'ai pour le moment ;
$a_2=1$
$a_3=2$
$a_4=4$
$a_5=6$
$a_6=9$
$a_7=12$
$a_8=16$

Je dois partir.
A+

Bonsoir,

Plutôt que de développer, on peut appliquer la méthode du pivot de Gauss, en choisissant comme toujours les pivots les plus simples, en permutant les lignes. Cela change éventuellement le signe du déterminant, mais vu comme polynôme en $X$, son coefficient dominant est $-1$, ce qui permet de retrouver au final le bon signe.

Soit $\chi(X)$ le déterminant à calculer. On a alors :

$\begin{array}{l}
\chi (X)\mathop = \limits_{\begin{array}{*{20}c}
{permutation} \\
{des} \\
{lignes} \\
\end{array}} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & { - X} & 1 \\
{ - X} & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & { - X} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & { - X} & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & { - X} \\
\end{array}} \right| \\
\mathop = \limits_{\begin{array}{*{20}c}
{L2 \leftarrow L2 + XL1} \\
{L3 \leftarrow L3 - L1} \\
\end{array}} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & { - X} & 1 \\
0 & 1 & 0 & {1 - X^2 } & X \\
0 & { - X} & 1 & X & { - 1} \\
0 & 1 & { - X} & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & { - X} \\
\end{array}} \right| \\
\mathop = \limits_{\begin{array}{*{20}c}
{L3 \leftarrow L3 + XL2} \\
{L4 \leftarrow L4 - L2} \\
\end{array}} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & { - X} & 1 \\
0 & 1 & 0 & {1 - X^2 } & X \\
0 & 0 & 1 & {X(2 - X^2 )} & {X^2 - 1} \\
0 & 0 & { - X} & {X^2 - 1} & {1 - X} \\
0 & 0 & 1 & 1 & { - X} \\
\end{array}} \right| \\
\mathop = \limits_{\begin{array}{*{20}c}
{permutation} \\
{des} \\
{lignes} \\
\end{array}} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & 0 & 0 & { - X} & 1 \\
0 & 1 & 0 & {1 - X^2 } & X \\
0 & 0 & 1 & 1 & { - X} \\
0 & 0 & 1 & {X(2 - X^2 )} & {X^2 - 1} \\
0 & 0 & { - X} & {X^2 - 1} & {1 - X} \\
\end{array}} \right| \\
\mathop = \limits_{\begin{array}{*{20}c}
{L4 \leftarrow L4 - L3} \\
{L5 \leftarrow L5 + XL3} \\
\end{array}} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & {(*)} & {(*)} & {(*)} & {(*)} \\
0 & 1 & {(*)} & {(*)} & {(*)} \\
0 & 0 & 1 & {(*)} & {(*)} \\
0 & 0 & 0 & { - X^3 + 2X - 1} & {X^2 + X - 1} \\
0 & 0 & 0 & {X^2 + X - 1} & { - X^2 - X + 1} \\
\end{array}} \right| \\
\mathop = \limits_{C4 \leftrightarrow C5} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & {(*)} & {(*)} & {(*)} & {(*)} \\
0 & 1 & {(*)} & {(*)} & {(*)} \\
0 & 0 & 1 & {(*)} & {(*)} \\
0 & 0 & 0 & {X^2 + X - 1} & { - X^3 + 2X - 1} \\
0 & 0 & 0 & { - X^2 - X + 1} & {X^2 + X - 1} \\
\end{array}} \right| \\
\mathop = \limits_{L5 \leftarrow L5 + L4} \pm \left| {\begin{array}{*{20}c}
1 & {} & {} & {} & {} \\
{} & 1 & {} & {} & {} \\
{} & {} & 1 & {} & {} \\
{} & {} & {} & {X^2 + X - 1} & {} \\
{} & {} & {} & {} & { - X^3 + X^2 + 3X - 2} \\
\end{array}} \right| \\
\end{array}$

Par conséquent, $\chi(X) = (X^2 + X - 1)( - X^3 + X^2 + 3X - 2)$ (puisque de coefficient dominant égal à $-1$).

Puisque l'on voit facilement que $X-2$ divise $\chi(X)$, on effectue la division euclidienne, et l'on obtient :
$- X^3 + X^2 + 3X - 2 = (X-2)(-X^2-X+1)$

Et finalement,

$\chi(X) = -(X-2)(X^2 + X - 1)^2$.

Evidemment, j'ai détaillé les "calculs", mais finalement, il n'y en a quasiment aucun, à condition de bien choisir les pivots!

Cordialement,

Ritchie