Groupe dérivé

Gilles old · November 2006

Bonjour à tous,

Je suis à la recherche du plus petit groupe dont le groupe dérivé n'est pas égal à l'ensemble de ses commutateurs.

On m'a dit que Bourbaki dans l'un de ses tomes construit une famille de tels groupes, mais l'ordre du plus petit de ces groupes est supérieur à 3000 (je n'ai pas vérifié à la BU), alors que par ailleurs il y aurait sur Wikipedia un article (que je n'ai pas trouvé) à propos d'un tel groupe d'ordre 96...

Quelqu'un peut confimer ou mieux a des références ?

Merci d'avance.

ryo · November 2006

ca voudrait dire par exemple que le groupe derivee de $S_5$ c'est $\{\sigma \tau \sigma^{-1} \tau ^{-1} ; \sigma,\tau \in S_5 \}=A_5$ sans qu'on ait besoin des $$ pour engendrer?

C'est marrant les profs que j'ai eu ont toujours lourdement insiste sur le fait que le groupe derivee c'est l'ensemble {\bf engendre} par les commutateurs et pas l'ensemble des commutateurs. Tout ca pour que le premier contre-exemple soit pour des groupes d'ordre 3000

Bon je fais pas avancer ton affaire mais ca permettra de faire remonter ce sujet qui m'interesse aussi du coup

Gilles old · November 2006

Exactement ryo (sauf que le premier contre-exemple serait d'ordre 96). J'y connais connaît que dalle en GAP, mais à mon avis il doit pouvoir aider, du moins à vérifier avec par exemple $A_5$.

ryo · November 2006

Oui $96$ pas $3000$ mais j'ai voulu faire mon chieur qui a plus confiance en Bourbaki (bien que j'ai jamais lu une ligne de leurs bouquins) qu'en wikipedia

Alors j'ai pas de solution a ton probleme mais j'ai pu constater grace a un lien donne par bs (\lien{http://wims.unice.fr/wims/}) qu'il y avait $231$ groupes d'ordre $96$ (apparemment ca marche sous GAP mais les programmations sont deja faites : tu tapes &quotgroup" dans le moteur de recherche du site et tu vas dans &quotSmallGroup", et tu n'as plus qu'a taper l'ordre du groupe)
Enfin tout ca pour dire qu'une etude de tous les groupes d'ordre $96$ est exclu (bon fallait s'y attendre en meme temps) mais peut-etre que les infos donnes par ce site pourraient te mettre sur la piste (je reve sans doute un peu mais on sait jamais)

J'ai regarde aussi ce que ca donnait qu'en on demandait la liste des groupes d'ordre $60$ on reconnait vite ou est $A_5$ mais ce que ca me sort ne m'a pas permis de verifier quoi que ce soit.
Et je suis comme toi : GAP, ca a l'air pratique mais bon...
Donc si un amateur de GAP pouvait aider a verifier 2/3 trucs ou faire avancer tout ca..

Bon courage parce que en plus ca a pas l'air de passioner grand monde :-(

¤ · November 2006

Voici la remarque suivant l'exercice 2.43 de l'excellent bouquin de Rotman /An introduction to the Theory of Groups/, qui construit un exemple de groupe infini dont l'ensemble des commutateurs n'est pas un groupe :

"Remark. [...] Using the computer language CAYLEY (now called MAGMA), I found that the smallest group in which the product of two commutators is not a commutator has order 96. There are exactly two such groups: in CAYLEY notation, they are library g96n197 and library g96n201; in each of these groups, the commutator subgroup has order 32 while they are only 29 commutators."

Alain Debreil · November 2006

Bonjour

Avec les renseignements de ¤ , $D(G)=[G,G]$ étant d'ordre 32, alors $G/[G,G]$ est d'ordre 3 donc $C_3$ dans la notation WWIMS.
En balayant, dans WWIMS, les 231 groupes d'ordre 96, on constate que seuls 3 groupes vérifient cela :
\begin{array}{ccc|c|cc}
& G&G && [G,G] & [G,G] \\
&\small{\text{WWIMS 96}} & \small{\text{GAP 96}} & &\small{\text{WWIMS 32}} & \small{\text{GAP 32}} \\
&140 & 204& &49 &33 \\
&141&3 &&2 & 47 \\
& 142 & 203 && 47 & 50
\end{array}
Maintenant, ce n'est pas évident de savoir le(s) quel(s) de ces 3 répond(ent) à la question initiale !

Alain

Alain Debreil · November 2006

Bonjour

Avec les renseignements de ¤ , $D(G)=[G,G]$ étant d'ordre 32, alors $G/[G,G]$ est d'ordre 3 donc $C_3$ dans la notation WWIMS.
En balayant les 231 groupes d'ordre 96, on constate que seuls 3 groupes vérifient cela :
\begin{tabular}{ccc|c|cc}
& G&G && [G,G] & [G,G] \\
&WWIMS 96 & GAP 96 & &WWIMS 32 & GAP 32 \\
&140 & 204& &33 &49 \\
&141&3 && 47 & 2 \\
& 142 & 203 && 50 & 47
\end{tabular}
Les numéros WWIMS et GAP correspondants sont donnés dans le tableau ci-dessus.
Maintenant, ce n'est pas évident de savoir le(s) quel(s) de ces 3 répond(ent) à la question initiale !

Alain

Gilles old · November 2006

Merci Alain, mais... tu le dis comment ce truc ?

Groupe dérivé

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