calcul sur les binômes de Newton

... donc les deux membres sont nuls ?

En appliquant le lemme rappelé ci-dessus :
$$\sum_{i=k}^p(-1)^i{p\choose i}{i\choose k}={p\choose k}\sum_{i=k}^p(-1)^i{p-k\choose i-k}$$
On fait le changement d'indice $i\mapsto i+k$ :
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{i=k}^p(-1)^i{p\choose i}{i\choose k} &=& \displaystyle{p\choose k}\sum_{i=0}^{p-k}(-1)^{i+k}{p-k\choose i}\\
&=& \displaystyle{p\choose k}(-1)^k\sum_{i=0}^{p-k}(-1)^{i}{p-k\choose i}\\
&=& \displaystyle{p\choose k}(-1)^k(1-1)^{p-k}\\
&=& \displaystyle 0
\end{array}$$
De même pour le membre de droite.
Sauf erreur.

Nicolas

Pour ma part, je t'en prie. :-)