sous groupe et groupe des Permutations

marion16 · November 2006

Bonjour, je fais actuellement un exo sur les groupe de Sylow ou on cherche a montrer par l absurde qu il n existe pas de sousgroupe d ordre 20 de $A_5$ et a la premiere ligne (grrr), mon prof dit que, si on suppose que le cardinal d un goupe H vaut 20, comme [$A_5$:H] = 3, on peut alors construire un morphisme de $A_5$ dans $S_3$... et tout ca me fait rendre compte que je ne sais pas du tout quand est-ce qu on peut construire un morphisme entre deux groupes... je croyais qu il y avait que le th de Cayley qui permettait de dire que des groupes sont lié par un isomorphisme... et en plus c un isomorphisme et pas un morphisme... HONTE A MOI... est-ce que quelqu un pourrait m aider... (en particulier quand est ce qu on peut construire un morphisme a image dans $S_n$... c quand meme bien pratique)

Merci

Clémence · November 2006

Bonjour Marion,

On note H ce sg d'ordre 20 (en supposant qu'il existe).
Ce morphisme existe car on a une action de groupe de $A_5 \times A_5/H \longrightarrow A_5/H $ par translation à gauche, ce qui est équivalent à la donnée d'un morphisme $\phi : A_5 \longrightarrow Bijections de A_5/H=S_3$.

trolleybus · November 2006

$A_5$ est un groupe simple, les seuls groupes distingués qui sont inclus dans $A_5$ sont le groupe trivial (contenant seulement l'element neutre) et $A_5$ lui-même.

Soit $\phi$ un homorphisme de $A_5$ vers $S_3$

On devrait avoir $Im(\phi)$ est isomorphe à $A_5/ker(\phi)$
$ker(\phi)$ est un sous-groupe distingué de $A_5$ donc son ordre est soit 1 soit 60
$A_5/ker(\phi)$ est donc soit d'ordre 1 soit d'ordre 60
60 est exclus car $Im(\phi)$ est inclus dans $S_3$ et l'ordre de $S_3$ est égal à 6.
Si $A_5/ker(\phi)=1$ alors le noyau de $\phi$ est $A_5$ lui-même.
Ce qui en résumé signifie que le seul homorphisme $\phi$ possible est l'homorphisme qui associe à chaque élément de $A_5$ l'élement unité de $S_3$

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