Algébre
Bonjour,
Voici l'énnoncé :
Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative notée multiplicativement et possédant un élément neutre e.
1- Montrer que tout élément régulier est symétisable.
2- Montrer que cette propriété est fausse si E est infini.
J'ai trouvé la réponse pour le 1, en revanche je ne sais comment m'y prendre pour le 2.
Merci pour votre aide.
[Un petit coup d'oeil sur cette discussion récente. AD]
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=326612&t=325869>
Voici l'énnoncé :
Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative notée multiplicativement et possédant un élément neutre e.
1- Montrer que tout élément régulier est symétisable.
2- Montrer que cette propriété est fausse si E est infini.
J'ai trouvé la réponse pour le 1, en revanche je ne sais comment m'y prendre pour le 2.
Merci pour votre aide.
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Réponses
L'exemple le plus simple d'objet correspondant à ce que tu recherches pour répondre à la 2 est IN :
_Un ensemble infini
_Muni d'une loi interne associative (+, le fait qu'elle soit notée additivement ne change rien...)
_Possédant un élément neutre 0
_Dans lequel il existe au moins un élément régulier (tous les éléments en fait) qui n'admette pas de symétrique (tous les éléments non nuls n'admettent pas de symétrique dans IN, sinon on ne construirait pas les entiers relatifs...).
Si je prends un élément régulier tel que ae = ea, alors a est symétrisable. Quel exemple <> de 0 appatenant à IN, peut on prendre afin de démontrer qu'il n'est pas symérisable ?
Merci,
Pour la question 2) j ai des doutes, voir le cas de $\N$
et "Montrer que tout élément a un symétrique" sont deux choses differentes !
et c'est bien sur faux dans le cas 2, avec l'exemple de N deja proposé.
A.D a "tué" le fil :P
Si $E$ est fini, elles sont bijectives, donc $a$ admet des symétriques à droite et à gauche, qui sont égaux (résultat ultra-classique) donc est symétrisable.
Si $E$ est infini, elles peuvent ne pas être bijectives, et $a$ peut ne pas être symétrisable (ou symétrisable d'un seul côté seulement).
Dans l'exemple de $\mathbf{N}$ muni de la multiplication :
0 est non régulier, non inversible
1 est régulier, inversible
les autres entiers sont réguliers, non inversibles.