Groupe: exercice classique

trolleybus
trolleybus
dans Algèbre
Je m'étais toujours demandé comment on demontrait ce résultat qui traine (generalement en exercice) dans tous les livres sur les groupes;

Soit G un groupe fini et p le plus petit diviseur premier de l'ordre de G
Si H est un sous-groupe d'indice p dans G alors il est distingué dans G.

J'ai trouvé dans le livre de Lang, "undergraduate algebra" le schéma de la preuve.
Ce qui m'interesserait c'est d'autres preuves (s'il en existe) de ce résultat

Réponses

  • borde
    borde
    Il s'agit d'un théorème dû à Frobénius. Tu peux aussi consulter le Francinou/Gianella, <I>Exercices de Mathématiques pour l'agrégation</I>, Algèbre 1, Masson, ex. 1.7 page 7.
    <BR>
    <BR>Borde.<BR>
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Je connais la preuve suivante, mais j'ignore si c'est celle du Lang : On fait agir G (a droite) sur les classes (a gauche) modulo H. Comme H fixe la classe égale à lui, il permute les autres et, pour des raisons de cardinalité, ces permutations sont triviales. Donc les classes à droite le sont aussi à gauche et G est distingué.
  • trolleybus
    trolleybus
    La preuve de Lang repose uniquement sur les translations à gauche sur les classes à gauche de G/H

    Ta preuve est differente pour ce que je comprends.
  • trolleybus
    trolleybus
    La preuve de Lang revient à montrer, si j ai bien compris que :

    L'homomorphisme de G vers le groupe des permutations des classes de G/H
    obtenu grâce à l'action de groupe par translation à gauche sur G/H
    a pour noyau H lorsque l'indice de H dans G est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G.
  • trolleybus
    trolleybus
    plus petit diviseur premier.
  • bs1
    bs1
    Pour ma prof de théorie des groupes , c'est le théorème d'Ore.
    (Borde: j'ai contacté ma prof pour lui dire que tu attribuais ce théorème à Frobenius, mais je n'ai pas encore reçu de réponse).

    Sinon, autre preuve dans le Delcourt : Exo 3.2.12 p74 , (sans attribution de paternité).
  • borde
    borde
    De toute façon, la paternité d'un certain nombre de résultats pourrait sans doute être mise en doute par les historiens des maths (voir par exemple le théorème de Bachet attribué à Bézout...). Alain D ou Norbert V pourraient peut-être nous en dire plus !

    Borde.
  • trolleybus
    trolleybus
    Le Francinou, "exercices de mathématiques pour l'agrégation", algèbre 1 (j'avais oublié que j'avais ce livre :P)
    indique à la fin de la correction de cet exercice :

    <<Ce résultat est dû à Frobenius (1895) sous la forme suivante, un peu plus puissante et qui s'établit de manière analogue :
    Pour que H soit distingué dans G, il suffit que tout diviseur premier de |H| soit
    supérieur ou égal à |G/H|>>
  • jobherzt
    jobherzt
    j'en ai donné une demo ya pas longtemps :
    <BR>
    <BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=330321&t=330280#reply_330321"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=330321&t=330280#reply_330321</a><BR&gt;
  • trolleybus
    trolleybus
    jobherzt:
    c est la demonstration donnée par Lang dans son livre "undergraduate algebra"
  • Courant de la rivière
    Courant de la rivière
    Bonjour,

    Pour information, la preuve de Lang est la suivante :
    Soit H d'indice p. On considère le normalisateur N de H. Supposons par l'absurde que H ne soit pas distingué. On a alors N=H et il y a donc p éléments dans l'orbite de H par action par conjugaison sur les sous-groupes.
    On a donc un homomorphisme de G dans un ensemble à p! éléments. Son noyau est contenu dans H et est d'indice p (par hypothèse sur p). Donc H est distingué.

    Courant de la rivière
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