Polynôme caractéristique?

Là encore, je vais, même si cela ne répond pas directement à ta question, faire référence à mon livre : tu y trouveras la généralisation suivante (dans une certaine direction) du {\it petit théorème de Fermat pour les matrices entières} (exo 4.11) : Si $A \in \mathcal {M}_n(\N)$, alors on a $$\sum_{d \mid n} \mbox {Tr}(A^d) \mu(n/d) \equiv 0 \pmod n.$$ Ceci peut-il t'aider ?

Borde.

Effectivement, tu pourrais mettre ta démo en ligne, cela intéresserait pas mal de gens...Il faut savoir également que l'on en trouve une autre, purement algébrique, dans le livre de {\bf Tauvel}, {\it Exercices de maths pour l'agrégation, algèbre 2}, Masson, exo 19 page 41.

La relation proposée ci-dessus, particularisée avec $n = p^a$, fournit : $$\mbox {Tr}(A^{p^a}) \equiv \mbox {Tr}(A^{p^{a-1}}) \pmod {p^a},$$ mais l'on se rend bien compte que l'on utilise intrinsèquement la propriété "d'additivité" de la trace, et j'ai bien l'impression qu'il sera difficile de généraliser à tous les coefficients du polynôme caractéristique.

Non ?

Borde.

{\bf PS}. Merci de ton intérêt pour mon livre...

Bonsoir,

Les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice sont des fonctions polynomiales de $M_n(\C)$, invariantes par conjugaison de $Gl_n(\C)$.
Par conséquent (cf Mneimné, Réduction des endomorphismes, page 6), les coefficients du polynôme caractéristique sont des polynômes $P_i$ en les traces des puissances $k^{iemes}$ , pour $k \in \{1,\dots,n\}$.

Ainsi, les coefficients de $\chi_A (X)$ sont les $P_i(Tr(A),\dots,Tr(A^n)$,
et les coefficients de $\chi_{A^p}(X)$ sont les $P_i(Tr[A^p],Tr[(A^p)^2],\dots,Tr[(A^p)^n] = P_i(Tr[A^p],Tr[(A^2)^p],\dots,Tr[(A^n)^p] =
P_i(Tr[A^p],Tr[(A^2)],\dots,Tr[(A^n)] \mod p.$

Evidemment, tout est basé sur l'argument de Mneimné, qui donne le schéma de la preuve, en disant :

"La démonstration du théorème fait bien sûr appel aux sommes de Newton, mais découle en fait de deux résultats sur la réduction : d'une part qu'une telle fonction polynomiale est entièrement déterminée par sa restriction aux matrices diagonalisables [ou ce qui revient au même que ces matrices sont denses dans $M_n(\C)$], et d'autre part que deux matrices diagonales sont semblables si, et seulement si, les termes diagonaux de l'une se déduisent par une permutation des termes diagonaux de l'autre."

Cordialement,

Ritchie

Et en considérant $A$ comme élément de $M_{n}(\mathbb{F}_{p})$, puis en la réduisant dans une cloture algébrique de $\mathbb{F}_{p}$ ? ...

Cela est-il correct ?

Soit $\pi$ la surjection canonique de $\Z$ sur $\mathbb{F}_{p}$. Pour $A$ dans $M_{n}(\Z)$ d'éléments $a_{ij}$, on définit $B = \pi(A)$, dans $M_{n}(\mathbb{F}_{p}$, d'éléments $b_{ij} = \pi(a_{ij})$.
Comme $\pi$ est un morphisme d'anneau, on a $det(B) = \pi[det(A)]$ et le problème revient à montrer que que $B$ et $B^{p}$ ont même polynôme caractéristique.
Soit $\Omega_{p}$ la cloture algébrique de $\mathbb{F}_{p}$, dans $\Omega_p{p}[X]$ on a les factorisations :
$\chi_{B} (x) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} (X - \lambda_{i})$ et $\chi_{B^{p}} = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} (X - \lambda_{i}^p)$
Ces polynômes on pour coefficients respectifs de $X^{n-k}$
$(-1)^l{k}\sigma_{k}(\ambda_{1},\ldots,\lambda_{n})$ et $(-1)^l{k}\sigma_{k}(\ambda_{1}^{p},\ldots,\lambda_{n}^p)$
qui sont éléments de $\mathbb{F}$
Le morphisme de Frobenius $Fr$ sur $\Omega_{p}$ commute à toute application polynômiale, en particulier aux $\sigma_{k}$, et se restreint à l'identité sur $\mathbb{F}_{p}$, soit
$\sigma_{k}(\ambda_{1}^{p},\ldots,\lambda_{n}^p) = \sigma_{k}[Fr(\ambda_{1}),\ldots,Fr(\lambda_{n})] = Fr[\sigma_{k}(\ambda_{1},\ldots,\lambda_{n}] = \sigma_{k}(\ambda_{1},\ldots,\lambda_{n})$
et, me semble-t-il, le résultat voulu...

Je m'excuse pour les fautes de frappe, mais j'ai tapé ça ce matin avant de partir au boulot, entre une douche et un bol de café...
On peut évidemment remplacer la cloture algébrique par tout corps dans leque le polynôme caractéristique est scindé, j'ai d'ailleurs failli en faire la remarque dans ma réponse.
L'utilisation de la cloture algébrique évite d'avoir à réfléchir, et d'être réutilisable si l'on a besoin d'autres polynômes par la suite, auquel cas on pourrait tout aussi bien se limiter à une extension ou tous les polynômes utiles sont scindés...
Comme l'on dit : "qui peut le plus, peut le moins", et si cela ne coûte pas plus cher...

Ca coûte une zornification. Si l'on refuse l'axiome du choix, c'est ennuyeux
On peut discuter longuement, mais je n'y tiens pas, à l'intérêt d'utiliser le minimum d'outils. C'est parfois indispensable, et ici j'utilise peut-être un marteau-pilon pour écraser une mouche, mais pour moi, l'essentiel est de comprendre le ressort de la méthode utilisée, qui ne réside pas dans la minimalité de l'extension utilisée.

Réenvoi de mon message.
Je m'excuse d'utiliser des arguments qui peuvent être audacieux au niveau L1/L2 annoncé pour cette question. Le niveau d'audace a été le sujet de la petite discussion avec Ritchie.
L'idée est simple : au lieu de travailler sur des congruences modulo $p$ dans $\Z$, je travaille sur des égalités de classes dans $\Z/p\Z$. L'essentiel est que, tant que l'on ne dépasse pas la structure d'anneau, les égalités de classes se manipulent comme les congruences, tout est transparent. Du point de vue formel (et un peu pédant), c'est le morphisme canonique surjectif $\pi$ de $\Z$ sur l'anneau quotient.
Ensuite, je veux trigonaliser la matrice, c'est plus sympa pour calculer le polynôme caractéristique !
Pour ce faire, j'ai besoin de scinder $\chi_{A}$.
Quand tu as une matrice réel avec $\chi_{A} = (X^{2}+1)(X^{2}+X+1)^{3}$, tu passes dans le corps des complexes, afin d'avoir des valeurs propres...
Là c'est pareil, $\Omega_{p}$ est à $\Z/p\Z$ ce que $\C$ est à $\R$ (et je ne vois pas l'intérêt (dans mon exemple réel, de passer dans $\Q[i,j]$, même si les calculs se feront dans ce corps, avec Maple par exemple), cela me permet d'avoir une expression simple des polynômes caractéristiques de $A$ et $A^{p}$ (ou plutôt de leurs classes modulo $p$).
Le TRUC, c'est le morphisme de Frobenius $x \mapsto x^p$ dans les anneaux de caractéristique $p$ : $(xy)^{p} = x^{p}y^{p}$ est immédiat, alors que $(x+y)^{p} = x^{p} + y^{p}$ demande une vieille propriété des coefficients binômiaux. Ce truc permet de se débarasser des puissances $p$ièmes.

Tres beau resultat Skilveg.
Question :
A-t'on aussi \[\forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z}),\ \mu_{A^p}\equiv\mu_{A}\pmod{p}\textnormal{,}\] où $\mu_A$ désigne le polynôme minimal de $A$?