matrices
Bonjour, pouvez vous m'aider pour probleme:
on a :
I= $ \begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix}$
J= $ \begin{pmatrix}
i&0 \\
0&-i
\end{pmatrix}$
K= $ \begin{pmatrix}
0&1 \\
-1&0
\end{pmatrix}$
L= $ \begin{pmatrix}
0&i \\
i&0
\end{pmatrix}$
soit M=aI + bJ + cK + dL
la question est : dire pour quelles valeurs de (a,b,c,d) la matrice M est inversible.
J'ai calculé les determinants de toutes les matrices j'ai mis a la puissance de 2 les 4 premieres matrices, mais la je bloque a trouvé a, b, c et d. Je sais que une matrice est inversible si son determinant est different de 0, mais je ne vois pas comment faire apres.
Merci pour toute aide approtée.
on a :
I= $ \begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix}$
J= $ \begin{pmatrix}
i&0 \\
0&-i
\end{pmatrix}$
K= $ \begin{pmatrix}
0&1 \\
-1&0
\end{pmatrix}$
L= $ \begin{pmatrix}
0&i \\
i&0
\end{pmatrix}$
soit M=aI + bJ + cK + dL
la question est : dire pour quelles valeurs de (a,b,c,d) la matrice M est inversible.
J'ai calculé les determinants de toutes les matrices j'ai mis a la puissance de 2 les 4 premieres matrices, mais la je bloque a trouvé a, b, c et d. Je sais que une matrice est inversible si son determinant est different de 0, mais je ne vois pas comment faire apres.
Merci pour toute aide approtée.
Réponses
-
si l'un des a,b,c ou d est non nul.
-
Bonjour.
C'est le déterminant de la matrice M qui sert. Calcule le.
Cordialement -
<!--latex-->
-
Bonjour,
En fait, dans les questions précédantes, on me demande de calculer les déterminants de J, K et L et de calculer JK et J et K au carré,
ensuite de trouver le déterminant de M, qui est a²+b²+c²+d²
apràs je dois trouver les valeurs de a, b, c, d en fonction de l'inverse de M et là je bloque, je n'arrive pas à trouver comment.
Voilà. Si vous avez un conseil n'hésitez pas. Merci -
Attention, le déterminant n'est pas linéaire !
-
Bonjour.
Tu as le déterminant. A quelle condition la matrice est - elle inversible ?
Cordialement
NB : Dans quel cas une somme de carrés est-elle nulle ? -
Peut-être en écrivant $(aI+bJ+cK+dL)(a'I+b'J+c'K+d'L)$, tu développes (attention à la non-commutativité) et tu réduis, tu obtiendras quelquechose de la forme $\alpha I + \beta J + \gamma K + \delta L$. Et alors $(a'I+b'J+c'K+d'L)$ sera l'inverse de $(aI+bJ+cK+dL)$ si et seulement si $\alpha=1$ et $\beta=\gamma=\delta=0$.
-
Salut Egoroff.
Inutile d'aller chercher trop loin. Il faudrait que Lya68 nous dise où il en est exactement (a-t-il trouvé la condition d'inversibilité de M ?) et ce qu'il lui reste à faire.
Cordialement -
Salut Gerard,
Oui, je me suis peut-être précipité ! -
bonjour,
je remets la question de l'enoncé :
calculer det(M) et dire pour quelles valeurs de (a,b,c,d) la matrice M est inversible.
Pour le det(M) je trouve :
det(M)= a^2+b^2+c^2+d^2
avec ceci je n'ai sais pas comment repondre a la question.
Merci pour toutes aides apportées -
Tiens ça me rappelle quelque chose.
-
Salut lya68.
Te revoilà au bout de 10 jours. Je suppose que tu avais quelque chose d'autre à faire. Je me répète :
"Tu as le déterminant. A quelle condition la matrice est - elle inversible ?
Cordialement
NB : Dans quel cas une somme de carrés est-elle nulle ? ".
Réponds à ces questions et tu auras ta réponse.
Cordialement -
lis toto.
-
excuse moi pour ce long retard, j'avais mis le sujet en attente.
pour repondre a ta question, je pense que c'est quand tout les carrés sont nul?
je ne vois pas, ca peut paraitre facile, mais les maths, c'est pas mon point fort.
ce n'est pas grave. merci beacoup pour ton aide -
Salut!
tu as le determinant de M, t'es en dimension 2, donc tu peux écrire le polynôme caractérestique P de M:
P(x)=x^2-trM.x+detM
et utilise le théorème de Cayley-Hamilton, P(M)=0
tu aura:
M^2-tr(M).M=-det(M).I
c'est à dire
M.(M-tr(M).I)=-det(M).I
ainsi, M^(-1)=1/(-det(M) .[M-tr(M)I] -
Cayley Hamilton ça me paraît un peu violent de suite là...
lya68 :
La matrice est inversible ssi son déterminant est non nul. OK?
Or tu as det(M), une somme de carrés. Comment une somme de carrés peut être nulle ? Tous les termes sont positifs donc ils ne se "compensent" pas et si la somme est nulle c'est que tous les termes sont nuls. -
En effet tu as calculé le det de M. Il vaut une soimme carrés. Or a, b, c, et d sont réels (sinon c'est un peu compliqué comme exo!). Si a est non nul, alors $a^2$ est >0, donc le det de M est >0, donc non nul, et M est inversible, et idem pour b, c et d.
Lorsque tu as une somme de termes positifs, cette somme est nulle ssi tous les termes sont nuls. Ca tu dois le savoir, et ça se démontre par l'absurde. -
Ce fil vole vraiment en dessous de zéro , il n'est même pas dit si les coefficients sont réels ou complexes !
Domi -
Quelqu'un m'a appelé ?
-
toto le zéro vaut vraiment le détour
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J'approuve gilles benson
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bonsoir une toute autre méthode sans déterminant consistait à chercher l'existence d'un inverse de M=aI + bJ + cK + dL sous la forme :M'=a'I + b'J + c'K + d'Len écrivant la condition :MxM' = Iavec I matrice identité de taille 2.
Et les fans de Monsieur Hamilton avec un grand H devraient approuver.
Mais je vois que Egoroff avait déjà suggéré cette méthode sans succès. -
Bonjour.
Je ne sais pas pourquoi ce sujet ressort maintenant. Lya68, tu as ta réponse : Pour tout quadruplet (a,b,c,d) tel que a²+b²+c²+d² = 0.
Si a, b c et d sont des réels, ils sont nuls; si ce sont des complexes, il en existe une infinité, et la relation a²+b²+c²+d² = 0 ne se simplifie pas de façon utile. Dans ce cas, soit l'exercice était fini, et tu as fini, soit il y a autre chose sur a,b,c et d, et on ne peut pas t'aider sans en savoir plus.
Joyeux Noël !
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