Perrin. chp-V
Bonsoir,
dans la propostion 3.4 du Perrin d'algèbre, à la deuxième ligne de la preuve l'auteur pose $F=\overline{f}(V^\bot)= \{g \in E^*| g_{|V}=0\}$. Seulement il ne m'a pas paru trivial que $$ \{g \in E^*| g_{|V}=0\} \subset \overline{f}(V^\bot)$$.
Je l'ai montré - du moins je crois- mais dans la mesure où cela parait naturel à l'auteur, je solicite votre bienveillance pour savoir si il y a un argument direct et trivial.
Je vous mets quand même ce que j'ai écrit (je ne rappel pas le contexte en détail donc mieux vaut avoir le livre avec soit).
$\square$
On montre que pour toute forme linéaire $g$ si $g_{|V}=0$ alors $g \in \overline{f}(V^\bot)$, soit il existe $y \in V^\bot$ tel que $g=f_y $; dans la mesure où ces deux formes linéaires coïncident sur $V$ il reste à montrer que c'est le cas sur le suplémentaire de $V$ de base $e_{p+1},\cdots,e_n$. On pose $j=p+1,\cdots,n$ et $a_j \in k$ et on cherche si il existe $\displaystyle y=\sum_j a_j e_j$ tel que pour tout $j$
$$g(e_j)=f_y(e_j)=f(e_j,y)$$
ce qui revient à déterminer l'existence d'une solution au système de $n-p$ équations à $n-p$ inconnues (les $a_j$)
$$g(e_j)= \sum_{\stackrel{i=p+1}{i\neq j}}^n a_i f(e_j,e_i)$$
Le déterminant de ce système est un mineur du discriminant de $f$ qui est non nul par hypothèse ($f$ non dégénérée); par conséquent le système à une solution (unique). $\square$
ps: je vais essayé de rediger les solutions des exos de ce chapitre au propre et à terme ce des chapitres suivants. Si quelque uns sont intéressés ils peuvent m'écrire où ce manifester sur le fil. Je vais reprendre un boulot d'ingé (faut bien manger) d'ici peu, donc de mon coté cela n'avancera pas extrèment vite.
pps: ce document s'il venait à voir le jour, sera posté ici évidement.
dans la propostion 3.4 du Perrin d'algèbre, à la deuxième ligne de la preuve l'auteur pose $F=\overline{f}(V^\bot)= \{g \in E^*| g_{|V}=0\}$. Seulement il ne m'a pas paru trivial que $$ \{g \in E^*| g_{|V}=0\} \subset \overline{f}(V^\bot)$$.
Je l'ai montré - du moins je crois- mais dans la mesure où cela parait naturel à l'auteur, je solicite votre bienveillance pour savoir si il y a un argument direct et trivial.
Je vous mets quand même ce que j'ai écrit (je ne rappel pas le contexte en détail donc mieux vaut avoir le livre avec soit).
$\square$
On montre que pour toute forme linéaire $g$ si $g_{|V}=0$ alors $g \in \overline{f}(V^\bot)$, soit il existe $y \in V^\bot$ tel que $g=f_y $; dans la mesure où ces deux formes linéaires coïncident sur $V$ il reste à montrer que c'est le cas sur le suplémentaire de $V$ de base $e_{p+1},\cdots,e_n$. On pose $j=p+1,\cdots,n$ et $a_j \in k$ et on cherche si il existe $\displaystyle y=\sum_j a_j e_j$ tel que pour tout $j$
$$g(e_j)=f_y(e_j)=f(e_j,y)$$
ce qui revient à déterminer l'existence d'une solution au système de $n-p$ équations à $n-p$ inconnues (les $a_j$)
$$g(e_j)= \sum_{\stackrel{i=p+1}{i\neq j}}^n a_i f(e_j,e_i)$$
Le déterminant de ce système est un mineur du discriminant de $f$ qui est non nul par hypothèse ($f$ non dégénérée); par conséquent le système à une solution (unique). $\square$
ps: je vais essayé de rediger les solutions des exos de ce chapitre au propre et à terme ce des chapitres suivants. Si quelque uns sont intéressés ils peuvent m'écrire où ce manifester sur le fil. Je vais reprendre un boulot d'ingé (faut bien manger) d'ici peu, donc de mon coté cela n'avancera pas extrèment vite.
pps: ce document s'il venait à voir le jour, sera posté ici évidement.
Réponses
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*****Si un modérateur pouvait remplacer le message précédent par celui-ci. thanks a lot.*****
Bonsoir,\\
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dans la propostion 3.4 du Perrin d'algèbre, à la deuxième ligne de la preuve l'auteur pose $F=\overline{f}(V^\bot)= \{g \in E^*| g_{|V}=0\}$. Seulement il ne m'a pas paru trivial que $$ \{g \in E^*| g_{|V}=0\} \subset \overline{f}(V^\bot)$$. \\
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Je l'ai montré - du moins je crois- mais dans la mesure où cela parait naturel à l'auteur, je solicite votre bienveillance pour savoir si il y a un argument direct et trivial. \\
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Je vous mets quand même ce que j'ai écrit (je ne rappel pas le contexte en détail donc mieux vaut avoir le livre avec soit).\\
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$\square$\\
On montre que pour toute forme linéaire $g$ si $g_{|V}=0$ alors $g \in \overline{f}(V^\bot)$, soit il existe $y \in V^\bot$ tel que $g=f_y $; dans la mesure où ces deux formes linéaires coïncident sur $V$ il reste à montrer que c'est le cas sur le suplémentaire de $V$ de base $e_{p+1},\cdots,e_n$. On pose $j=p+1,\cdots,n$ et $a_j \in k$ et on cherche si il existe $\displaystyle y=\sum_j a_j e_j$ tel que pour tout $j$\\
$$g(e_j)=f_y(e_j)=f(e_j,y)$$\\
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ce qui revient à déterminer l'existence d'une solution au système de $n-p$ équations à $n-p$ inconnues (les $a_j$)\\
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$$g(e_j)= \sum_{\stackrel{i=p+1}{i\neq j}}^n a_i f(e_j,e_i)$$\\
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Le déterminant de ce système est un mineur du discriminant de $f$ qui est non nul par hypothèse ($f$ non dégénérée); par conséquent le système à une solution (unique). $\square$\\
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ps: je vais essayer de rediger les solutions des exos de ce chapitre au propre et à terme ceux des chapitres suivants. Si quelques uns sont intéressés ils peuvent m'écrire où se manifester sur le fil. Je vais reprendre un boulot d'ingé (faut bien manger) d'ici peu, donc de mon coté cela n'avancera pas extrèment vite. \\
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pps: ce document s'il venait à voir le jour, sera posté ici évidemment. -
une petite erreur dans le système d'équations
$$g(e_j)= \sum_{\stackrel{i=p+1}{i\neq j}}^n a_i^{\sigma} f(e_j,e_i)$$ -
Bonsoir Majdi,
Etant donné que la forme $f$ est non dégénérée, je crois qu'il suffit de dire qu'on a l'inclusion réciproque (triviale elle) et que les dimensions coïncident. Attention, l'application $\overline{f}$ est seulement semi-linéaire mais elle est bijective; elle envoie un sous-espace vectoriel de $E$ vers un sous-espace de $E^*$ de même dimension.
Sinon, je crois qu'il existe un livre donnant les corrigés de tous les exos du "Perrin". Bon courage quand même.
Cordialement -
et non fb : Ortiz corrige uniquement les exos des chapitres 1 à 4.
bon courage majdi pour tes projets, je sais que tu n'en manques pas. -
Bonjour,
merci pour ta réponse, effectivement après petite vérification, semi-linéarité et injectivité suffisent pour transporter la structure.
merci bs
je vois que tu es volontaire pour rédiger un exo, je te confie donc:
$\textit{Généraliser aux applications semi-linéaires les techinques de calcul du rang}$
$\textit{au moyen des déterminants }$
(je rigole biensûr)
a+ -
Il va sans dire que c'est un gros boulot de corriger les exos du Perrin... Bon courage !
-
Merci fb, cependant il va sans dire je n'ai pas la prétention d'y parvenir par la seule "force" de mon esprit. J'espère juste trouver suffisament d'aide et de références (livres, annales, ...) pour rédiger l'essentiel. +
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Bonjour!
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