développement

arf mon naviguateur bug...

je tente un repost a l'arrache

"bonjour à tous

J'avais proposé il y a fort lgtps de présenter des plans de leçon (1 toutes les semaines ... je doutais de rien . Hélas je me trouve actuellement à cheval entre rennes et nantes, n'ait accès qu'a un pc de secour (sans latex math type etc...) et dispose de tres peu de tps dessus.

Il parait donc bien illusoir de vouloir présenter des plans entiers, bien rédiger. Cela dit je pense qu'il est encore gérable de donner simplement des points de developpement et voir dans quelles leçons on peut les incorporer. Cette démarche est interessante surtout si on propose des developpement originaux (ex : pas wedderburn ou A_n simple pour n>4).

Voici une idée de developpement qui reste à etoffer (vous allez voir ca fait assez maigre).

Je propose une estimation de la probabilité que 2 éléments d'un groupe fini d'ordre n non abélien commutent.

POsons : $P=\frac{Card(A)}{n^2}$ avec A l'ensemble des couples (x,y) tels que x et y commutent. On remarque que A n'est autre que l'union pour x parcourant G, des centralisateurs de x (notés Z(x)). On peut aussi partitionner G en : Z (le centre de G) et G-Z=R.

On obtient alors $Card(A)=Card(Z).n+\sum_{x \in R}^{}Card(Z(x))$

En effet pour chaque élément x du centre, les n éléments de G commutent avec x.

Maintenant nous allons utiliser le fait que Z et les Z(x) sont des sous-groupes de G. Notons p le plus petit facteur premier de n. Alors $Card(Z(x)) \leq \frac{n}{p}$ et $Card(Z) \leq \frac{n}{p}$

On obtient alors : $Card(A) \leq \frac{n^2}{p}.(2-\frac{1}{p})$

Si bien que finalement $P \leq \frac{1}{p}.(2-\frac{1}{p})$.

De meme on peut obtenir une minoration en minorant Card(Z(G)) par 1 et Card(Z(x)) par p. ON obtient alors : $P \leq \frac{(n+1).p+n}{n^2}$

Enfin on montre que dans le cas général $Card(Z) \leq \frac{n}{4}$. En effet si le quotient de G par Z est d'ordre 2 ou 3 cela implique qu'il est cyclique. Puisqu'il est cyclique ses éléments commutent et donc il n'y a qu'une classe de conjugaison (2 classes du quotient sont égales si 2 de leurs représentants respectifs commutent).

Ainsi on utilise cette majoration ainsi que "puisque pour tout élément x de R Z(x) est un sous-groupe propre de G, son ordre est inférieur a n/2" pour obtenir : $P \leq \frac{1}{4}+ \frac{3}{8}$ soit $P \leq \frac{5}{8}$

voila pour les grandes lignes...

ayant tres peu de tps devant moi je laisse ca un peu en plan et vous invite à commenter.

T-Mouss"