Diagonaliser une matrice par blocs

Un matrice $\left(\begin{array}{cc} a & a \\ a & a \end{array}\right)$ est diagonalisable, non ? Si tu sais diagonaliser cette matrice, tu sauras diagonaliser par bloc ta matrice. Tout deviendra clair.

As-tu essayer de diagonaliser ma matrice?

Si tu trouves une matrice de changement de base qui diagonalise ma matrice, tu devrais être capable de diagonaliser la tienne par blocs.

Encore une cochonnerie de LaTeX.
J'ai copié le code de Ludovix, où il y a un magnifique \end{array] ce qui permet un affichage correct de son message, alors que le mien ne passe pas.
Je remplace donc par le véritable \end{array} en espérant que ...

La première chose demandée est de calculer le polynôme caractéristique de $B$, c'est-à-dire le déterminant ($I$ est la matrice unité...)
$$\chi_{B}(X) = \left|\begin{array}{cc} A - XI & A \\ A & A_XI \end{array}\right|$$
Comme tu t'en souviens, on n'a pas $AB-BC$ comme déterminant.
Il vaut mieux avoir un déterminant triangulaire par blocs. Tu manipules donc adroitement lignes et colonnes, et tu te débrouilles pour trouver
$$\chi_{B}(X) = \left|\begin{array}{cc} -XI & 0 \\ A & 2A - XI \end{array}\right)$$
ce qui permet de résoudre le premier point
Pour diagonaliser, tu essaies d'adapter la diagonalisation de la matrice d'ordre 2 proposée par Ludovic à un calculs par blocs...

Mon cher Ludovic, tu ne m'apprends rien ; je sais depuis plus de trente ans que $B$ est diagonalisable si, et seulement si $A$ est nulle.
On peut réduire directement par blocs, à la main ou par produit de Kronecker, ou autres...
Le seul truc c'est que le sujet proposé demande d'abord de comparer les polynômes caractéristiques, puis de donner des conditions de diagonalisabilité . j'essaie, autant que faire se peut, de résoudre un exo en prenant les questions dans l'ordre proposé, même s'il me paraît plus simple de les prendre "par derrière" (sans équivoque).
Peut-être l'auteur a-t-il voulu faire apparaître le fait que 0 est valeur propre multiple de $B$ et obtenir sa diagonolisabilité (l'énoncé ne demande pas la diagonalisation explicite !!!) par exhibition d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Mais tout ceci n'est qu'une exégèse du texte, orientant vers la psychanalyse de son auteur, sous ma seule responsabilité.

En fait le plus simple, est de diagonaliser la matrice $\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$ :
$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{array}\right)$$
Tu combines cela avec une formule de réduction de $A$ à la forme $R$ (pas forcément diagonale) :
$A = PRP^{-1}$
pour trouver une formule de réduction de $B$ par blocs. Tu en déduis que $B$ est diagonalisable si, et seulement si la forme réduite $R$ de $A$ a une certaine propriété.
Mais c'est totalement indépendant de la comparaison des polynômes caractéristiques qui t'est demandée auparavant.

Ludovic> Tu ne m'as donné aucune mauvaise impression. Même à mon âge, on a encore des choses à apprendre.
Il est évident que, lors d'une évaluation des connaissances, on traite les questions dans l'ordre que l'on veut, le but étant de faire valoir ses capacités sur le sujet.
Il me semble que tu es prof, comme moi : lorsque tu donnes un exercice à tes étudiants, c'est pour les amener à progresser par l'approfondissement d'un point théorique, ou pour décortiquer le fonctionnement de telle ou telle méthode. Si un élève résout autrement, il risque de rater ce que tu voulais lui montrer.
C'est pourquoi dans le sujet proposé, je me suis efforcé de suivre l'ordre des questions, en me demandant bien ce que l'auteur avait derrière la tête.
En, tout état de cause, je ne me permettrai pas de juger, d'une façon ou d'une autre, les idées émises sur ce forum, tant qu'elles se cantonnent aux mathématiques.
J'aurais préféré t'envoyer ce mail en privé, mais je ne sais comment faire.


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