rang de matrice
bonjour tout le monde
je vous écris car j'aurais une question sur la compréhension d'une question que voici:
déterminer une procédure qui prend comme argument la matrice A et qui renvoie le rang de A et des matrices P appartenant à GL(n,R), Q appartenant à GL(m,R), B appartenant à M(n,m,R) telles que P*A*Q=B, avec B une matrice telle que si r est son rang, on ait b(1,1), ..., b(r,r) non nuls et b(i,j)=0 si i>r ou si (j<=r et j<i)
En fait je doit prendre comme argument la matrice A. Mais la procédure doit elle renvoyer le rang de A ainsi que le rang de P, Q, B vérifiant la relation demandée ?
Ou bien la procédure doit renvoyer le rang de A et elle doit aussi renvoyer les matrice P, Q, B vérifiant la relation ?
En fait je ne vois pas sur quoi s'applique le rang dans la phrase !
J'espère que vous pourrez me dire comment vous comprenez cette procédure !
je vous écris car j'aurais une question sur la compréhension d'une question que voici:
déterminer une procédure qui prend comme argument la matrice A et qui renvoie le rang de A et des matrices P appartenant à GL(n,R), Q appartenant à GL(m,R), B appartenant à M(n,m,R) telles que P*A*Q=B, avec B une matrice telle que si r est son rang, on ait b(1,1), ..., b(r,r) non nuls et b(i,j)=0 si i>r ou si (j<=r et j<i)
En fait je doit prendre comme argument la matrice A. Mais la procédure doit elle renvoyer le rang de A ainsi que le rang de P, Q, B vérifiant la relation demandée ?
Ou bien la procédure doit renvoyer le rang de A et elle doit aussi renvoyer les matrice P, Q, B vérifiant la relation ?
En fait je ne vois pas sur quoi s'applique le rang dans la phrase !
J'espère que vous pourrez me dire comment vous comprenez cette procédure !
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Réponses
Le rang ne s'applique bien sûr qu'à $A$, on sait que les matrices $P$ et $Q$ sont inversibles donc leurs rangs respectifs sont $n$ et $m$, et le rang de $B$ est le même que celui de $A$ qui est $r$. Donc tu dois donner le rang de $A$, et les matrices $P$, $B$ et $Q$ (le plus important c'est de donner $P$ et $Q$). Tu dois avoir dans ton cours qu'une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle peut s'écrire comme cela, et la preuve repose sur l'algorithme du pivot de Gauss.
Ou est-ce qu'elles sont définies de manière unique ?
Voilà comment ça se passe : imagine que tu as un système linéaire $AX=Y$ de rang $r$, à $n$ équations et $m$ inconnues. En faisant des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes tu te ramènes à un système "diagonal" de rang $r$. Là je n'ai pas trop le temps de développer, mais si tu n'en as jamais entendu parler (par curiosité d'où vient cet exercice ? un cours d'info d'une filière de maths ?) peut-être qu'un bon samaritain s'occupera de toi :-)
Merci du temps que vous m'avez accordé !
Bonne soirée
Pour ça tu vas devoir trouver une base du noyau de A et la compléter pour avoir une base de $\R^n$. Tu auras donc n vecteurs $(e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},...,e_n)$ (où r est le rang de A) libres, tels que $(e_{r+1},...,e_n)$ est une base du noyau de A, et $(e_1,...,e_r)$ est une base d'un supplémentaire du noyau de A dans $\R^n$. Tu poses $f_1=Ae_1$, $f_2=Ae_2, \cdots, f_r=Ae_r$, ces vecteurs forment donc un système libre. Tu peux les compléter avec m-r vecteurs pour avoir une base de $\R^m$.
La matrice de A relativement à ces deux bases s'écrit comme demandé dans ton énoncé, il te suffit donc de trouver les matrices de changement de base, c'est-à-dire résoudre deux systèmes d'équations avec l'algorithme du pivot de Gauss comme te le suggère egoroff.
Bon courage