rang de matrice

Salut,

Le rang ne s'applique bien sûr qu'à $A$, on sait que les matrices $P$ et $Q$ sont inversibles donc leurs rangs respectifs sont $n$ et $m$, et le rang de $B$ est le même que celui de $A$ qui est $r$. Donc tu dois donner le rang de $A$, et les matrices $P$, $B$ et $Q$ (le plus important c'est de donner $P$ et $Q$). Tu dois avoir dans ton cours qu'une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle peut s'écrire comme cela, et la preuve repose sur l'algorithme du pivot de Gauss.

Elles ne sont pas uniques en général mais ce ne sont pas non plus n'importes quelles matrices ! Tu n'as jamais entendu parler de ce théorème ? ou du pivot de Gauss ?

Voilà comment ça se passe : imagine que tu as un système linéaire $AX=Y$ de rang $r$, à $n$ équations et $m$ inconnues. En faisant des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes tu te ramènes à un système "diagonal" de rang $r$. Là je n'ai pas trop le temps de développer, mais si tu n'en as jamais entendu parler (par curiosité d'où vient cet exercice ? un cours d'info d'une filière de maths ?) peut-être qu'un bon samaritain s'occupera de toi :-)

Ce sont des matrices de changement de base, elles sont uniques. En gros le but du jeu est de trouver deux bases relativement auxquelles ta matrice s'écrit avec des 1 sur une partie de la « diagonale » (ta matrice étant rectangulaire ce n'est pas réellement une diagonale) et des 0 partout ailleurs.

Pour ça tu vas devoir trouver une base du noyau de A et la compléter pour avoir une base de $\R^n$. Tu auras donc n vecteurs $(e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},...,e_n)$ (où r est le rang de A) libres, tels que $(e_{r+1},...,e_n)$ est une base du noyau de A, et $(e_1,...,e_r)$ est une base d'un supplémentaire du noyau de A dans $\R^n$. Tu poses $f_1=Ae_1$, $f_2=Ae_2, \cdots, f_r=Ae_r$, ces vecteurs forment donc un système libre. Tu peux les compléter avec m-r vecteurs pour avoir une base de $\R^m$.
La matrice de A relativement à ces deux bases s'écrit comme demandé dans ton énoncé, il te suffit donc de trouver les matrices de changement de base, c'est-à-dire résoudre deux systèmes d'équations avec l'algorithme du pivot de Gauss comme te le suggère egoroff.

Bon courage

Et en plus j'ai mal lu l'énoncé ! N'importe quoi, oublie mes messages, désolé !