borne sup et borne inf

Bonjour, c'est vrai pour deux parties d'un ensemble ordonné et en supposant que le sup et l'inf existent (mais dans un espace vectoriel général je ne vois pas comment définir le sup et l'inf). Pour le démontrer il suffit de constater que sup B est un majorant de A.

"A et B sont munis d'une norme" : Tu veux dire que $A$ et $B$ sont des espaces normés ?

Je pense plutôt que c'est $E$ qui est un espace vectoriel normé, que $A,B \subset E$ et qu'on cherche à comparer $\sup_{a \in A} ||a||$ et $\sup_{b \in B} ||b||$, et pareil avec les $\inf$ non ? Dans ce cas je te conseille de considérer les parties $A'=\{ ||a||, \, a \in A \}$ et $B'=\{ ||b||, \, b \in B \}$ de $\R$, de trouver une inclusion entre elles deux et d'appliquer ce dont je parlais.