Problème de forme canonique...

K2RI · November 2006

Bonjour,
Je n'arrive pas à trouver la forme canonique de a² + ab + b².
Pourriez vous me la rappeller s'il vous plait. Ensuite j'ai un problème qui me dit d'en déduire que pour tout a et b de R, a² + ab + b² est positif. Comment dois-je faire . Merci d'avance

Zantac · November 2006

C'est sans doute $(a+b)^2-ab$. Ensuite il faut faire des cas pour la positivité.

mireille · November 2006

Je crois que c'est plutôt
$(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3b^2}{4}$
par référence à la forme canonique d'un polynôme du second degré de variable $a$.
Mireille

Zantac · November 2006

Ah oui exact ! Par contre ma formule permet également de retrouver le résultat suivant, même si c'est (un tout petit peu) moins simple.

Richard André-Jeannin · November 2006

On peut considérer, dans le même ordre d'idée, que l'expression est une fonction du second degré , avec a la variable et b un paramètre. L'étude du signe est immédiat.
Mais la méthode de Mireille est la plus rapide et la plus élégante.

K2RI · November 2006

Ok, je vous remercie tous,
Mais je voudrais savoir comment en déduire que pour tout a et b de R, a² + ab + b² est positif. Merci d'avance

Aleg · November 2006

K2RI, regarde bien ce qu'a écrit Mireille...!

skilveg · November 2006

On peut aussi dire que
 <DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="166" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/24/102481/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle a^2+ab+b^2=\left\vert a-bj\right\vert^2$"></DIV>
 mais c'est légèrement hors sujet... :-)