hyperplan et base duale

Bonjour,

Je suppose que dans la question 1), il faut lire :

1) Soit $f\in V^*$ (c'est à dire $f$ est une application linéaire de $V$ dans $\mathbb{R}$). Montrer que $Ker(f)$ est un hyperlan.

=> Pour montrer que $Ker(f)$ est un hyperplan, tu dois montrer 2 choses : i) Que $ker(f)$ est un sev de $V$; ii) Que ce sev est de dimension $n-1$.

Pour le i), avez-vous déjà démontré ce résultat en cours ? Il y à normalement dans un cours d'algèbre linéaire ce genre de proposition :

{\it Proposition : Soit $f: E \to F$ une application linéaire alors $Ker(f)$ est un sev de $E$}

Ici, tu es dans le cas particulier où $E=V$, $F=\mathbb{R}$. Si tu as le droit d'utiliser ce théorème, il n'y a donc rien à faire.

Si tu n'as pas à ta disposition ce théorème, tu vas devoir montrer à la main le fait que $ker(f)$ est un sev. Comment fait-on? Déjà, on doit se poser la question : "Comment montrer qu'un ensemble est un sev?On cherches dans le cours la définition de sev et on trouve :

{\it Définition : On dit qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$ est un sev si \begin{enumerate}\item $A\neq\emptyset$,
\item Pour tout $x,y\in A$, on a $x+y\in A$
\item Pour tout $\lambda\in \mathbb{K}, x\in A$, $\lambda x\in A$
\end{enumerate}}

Il te faudra donc vérifier ces 3 points avec $A=ker(f)$ et $E=V$.

Je te laisse déjà réfléchir à ça.

Bon courage.

sk.