Indempotence sur ensemble fini

Oliv
Oliv
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative.
Montrez qu'il existe un element s de E tel que s.s=s

Merci à tous et bonne soirée :)

Réponses

  • Oliv
    Oliv
    Montrez qu'il existe un element s de E tel que s.s=s

    Voila, c'est mieux :)
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Oliv

    Si $x\in E$ comme la loi est interne, $x,x^2,x^3,\ldots,x^k,\ldots$ sont des éléments de $E$.
    Or $E$ est fini, que peut-on en déduire ?

    Alain
  • Oliv
    Oliv
    Bonsoir a tous,

    Merci Alain pour ton aide, j'y avais pense mais, je ne vois pas pourquoi il y aurait un element de la suite $x^2,x^3,\ldots,x^k,\ldots$ qui retomberait sur $x$ pour un certain $k$ ?

    Et, s'il existe un entier $k$ et $x\inE$ pour lequel $x^k=x$, comment arriver a $x^2=x$ ?

    Merci pour votre aide :)

    Olivier
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Oliv

    Bien sûr, il n'y a aucune raison pour qu'il existe un $k$ tel que $x^k=x$, mais (principe des tiroirs) on est sûr de tomber sur un élément déjà pris, c'est à dire qu'il existe $\ell < k$ tel que $x^k=x^\ell$.
    Que dire alors des $x^\ell, x^{\ell+1}, \ldots, x^{k-1}, x^k=x^\ell$
    N'existrait-il pas là dedans un élément idempotent ? ...

    Alain
  • GLaG
    GLaG
    Si $x^a=x$, avec $a \geq 2$, on a pour tout $c$ : $x^{a+c}=x^{1+c}$.

    En prenant $c=a-2$, on trouve $x^{2a-2}=x^{a-1}$, donc $x^{a-1}$ convient..
  • GLaG
    GLaG
    Cela dit, je ne réponds qu'à la deuxième question (cas particulier) et je ne vois pas comment utiliser l'indication d'Alain...
    Si $k-2l \geq 0$, mon indication se généralise, mais sinon ??
  • Oliv
    Oliv
    Hmmm, je ne vois un element indempotent seulement si $k \geq 2l$ en dessous, il n'y en a pas :(
  • GLaG
    GLaG
    Bon, j'ai une solution extrêmement tordue (à supposer qu'elle ne soit pas erronée...) :
    si $x^k=x^l$ et si de plus $k \geq 2l$, alors $x^{k+k-2l}=x^{l+k-2l}$, donc $x^{2(k-l)}=x^{k-l}$, donc $x^{k-l}$ est idempotent.

    Sinon, on suppose $k>l$.
    Alors $x^{k^2}={x^k}^k={x^l}^k={x^k}^l={x^l}^l=x^{l^2}$.
    Et de même, on montre par récurrence que $x^{k^n}=x^{l^n}$ pour tout $n \geq 1$. Mais, pour $n$ assez grand, $k^n \geq 2l^n$...d'où le résultat.

    Maintenant, j'aimerai bien déprimer en lisant la solution sans doute immédiate que j'ai ratée...
  • GLaG
    GLaG
    Je détaille avec des parenthèse la ligne centrale de mon calcul :

    $x^{k^2}=(x^k)^k=(x^l)^k=x^{kl}=(x^k)^l=(x^l)^l=x^{l^2}$.
  • Oliv
    Oliv
    L'element est $x^{k-l}$ mais apres, pour $k
  • Oliv
    Oliv
    L'element est $x^{k-l}$ mais apres, pour $k
  • GLaG
    GLaG
    Si, $x^4$ :

    $x^4*x^4=x^8=x^3*x^5=x^3*x^3=x^6=x^5*x=x^3*x=x^4$...
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir

    $ x^\ell, x^{\ell+1}, \ldots, x^{k-1}, x^k=x^\ell$ est un cycle de longueur $k-\ell = n \geq 1$
    Evacuons le cas $n=1$ : c'est à dire $x^\ell=x^{\ell+1}=\ldots=x^{2\ell}$
    Supposons $n>1$, alors parmi les $n$ nombres successifs $\{\ell, \ell+1,\ldots, k-1\}$, l'un est multiple de $n$, soit $c= a.n = \ell+b$ ce nombre. Alors $$(x^c)^2=x^{c+c}=x^{\ell+b+an}=x^{\ell+b}=x^c$$ puisque à partir de $x^\ell$ tous les $n$ on retombe sur le même élément.
    Ou encore $x^{\ell+b}=x^{\ell+b+n}= x^{\ell+b+2n}=\ldots = x^{\ell+b+an}$

    Alain
  • gb8
    gb8
    Et par suite $\{x^l,x^{l+1},\ldots,x^{k-1}\}$ est un groupe.
  • ab0
    ab0
    Prenez F inclus dans E non vide, stable pour la loi et de cardinal minimal. Un tel
    F existe car E est fini. Prenons a dans F. L'ensemble aF est inclus dans F et il
    est stable pour la loi; comme F est minimal, on a aF=F. Soit G l'ensemble des
    b dans F tels que a=ab; G est non vide car aF=F; de plus G est stable pour
    la la loi (immédiat); don G=F. En particulier, notre fameux a est dans F; en
    particulier aa=a. Magique...
  • GG
    GG
    bonjour,
    beaucoup plus terre-à-terre :

    x^p = x^q, p>q
    x^p.x^(p-q) = x^(2p-q) = x^p = x^q
    x^(3p-2q) = x^q
    ...
    x^((k+1)p-kq) = x^q

    (k+1)p - kq = k(p-q) + p
    On peut donc trouver h aussi grand qu'on veut avec x^h = x^q

    x^(q+(h-2q)) = x^(h+(h-2q))

    x^(h-q) = x^2(h-q) idempotent.
  • arno_nora
    arno_nora
    je n'avait encore jamais visité ce topic,
    il est amusant, il est pourtant simple, mais il y a beaucoup de réponse.

    Attention au fait que x n'est pas forcement inversible et donc que x^p=x^q n'implique pas que x^(p-q)=1.
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