un isomorphisme

Pour les chicaniers de ce forum :
En tant que groupe additif, $\Z/n\Z$ est bien évidemment un $\Z$ module.
En prenant en compte la multiplication, $Z\nZ$ est un anneau commutatif.
Je distingue (pour une fois), l'entier $p$ et sa classe $\overline{p}$ dans $\Z/nZ$, alors les relations
$\overline{p} = p\overline{1}$
$\overline{pq} = p\overline{q}$
montrent facilement que l'on a les mêmes morphismes pour les trois structures.
Mais l'esthétique d'une démonstration demande que l'on se restreigne à n'utiliser que la structure envisagée dans l'énoncé.

J'ai précisé que l'ordre de $f(1)$ divise $n$

Pardon pour le noyau c'est bien sûr $m \Z$ et non $m' \Z$.

Bien évidemment que les modules n'ont rien à faire dans l'histoire, puisque gourpe = $\Z$-module. Le seul intérêt est théorique.
Très belle preuve de Guimauve.
Si l'on veut voir "à la main" ce qui se passe : je pose $d = \text{pgcd}(n,m)$ et $m = dm'$.
Comme je l'ai fait remarquer, l'ordre de $f(1)$ divise $n$ parce que 1 est d'ordre $n$ dans $\Z/n\Z$ et l'ordre divise divise aussi $m$ en tant qu'élément de $\Z/mZ$, donc l'ordre de $f(1)$ divise $d$, et il est connu (ou on le vérifie facilement) que les éléments de $\Z/m\Z$ dont l'ordre divise $d^$ sont $\{0,m',2m',\ldots,(d-1)m'\}$ et qu'ils constituent un groupe cyclique d'ordre $d$.
Je note alors $f_k$ le morphisme de $\Z/n\Z$ dans $Z/m\Z$ défini par $f_k(1) = km'$
et je "vois" que $\mathrm{Hom}(\Z/n\Z, \Z/m\Z)$ est un groupe cyclique d'ordre $d$, donc isomorphe à $\Z/d\Z$, je peux même expliciter un isomorphisme si j'en ai vraiment envie.