Operateurs

Je pense également que ce sujet a déjà été débattu ici.

Pour le principe : sur quoi agissent tes opérateurs ? (cela peut influer sur les techniques de résolution)

de degré $n$ ? ne serait-ce pas de degré $\leq n$ ?

Le souci avec l'ensemble des polynomes de degré fixé c'est que ce n'est pas un espace vectoriel (sauf à y définir des lois biscornues...).

Un autre souci vient du fait qu'en dimension finie, on ne trouvera pas d'exemple (considérer la trace).

C'est bizarre, mon premier post avait prévu toutes ces réactions sur un énoncé qui ne veut rien dire, parce que les objets présentés ne sont pas définis.
On peut en donc dire n'importe quoi.

gb dit que ça n'a pas de sens parce que l'on ne sait pas de quoi l'on parle.

Tes opérateurs sont définis sur quoi ?

sur un espace vectoriel sans plus ?

sur un espace vectoriel de dimension finie ? (je te signale que l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq n$ est de dimension $n+1$ et non pas $n$) alors $M$ et $N$ ne peuvent exister si la dimension est non nulle. Mais sur un espace vectoriel de dimension 0, alors, avec $M = D = I$, on a $DM - MD = I$. Preuve simplissime avec la trace.

sur un espace-vectoriel de dimension infinie ? il existe toujours $M$ et $D$ avec $DM - MD = I$

Par exemple $E$ est le sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}(\R,\C)$ engendré par les fonctions $(u_n)_{n\in\Z}$ définies, pour tout $n$ entier relatif et tout $x$ réel, par :
$$u_n(x) = e^{inx}$$
$D$ est l'opérateur $f \mapsto u_{-1}f' et $M$ l'opérateur $f \mapsto u_1f$
alors j'ai, pour tout $n$ :
$D(u_n) = nu_{n-1}$ et $M(u_n) = u_{n+1}$
donc
$$(DM - MD)(u_n) = D(u_{n+1}) - M(nu_{n-1}) = (n+1)u_n - nu_n = u_n$$

sur un espace vectoriel normé ? $DM -MD = I$ est impossible avec des opérateurs continus, mais possible avec des opérateurs discontinus

sur un espace de Banach ?

sur un espace de Hilbert ?

sur un espace vectoriel topologique ? localement compact ? localement connexe ? tonnelé ?

La réponse dépend des conditions que tu imposes sur ton espace et sur tes opérateurs.

gb dit que ça n'a pas de sens parce que l'on ne sait pas de quoi l'on parle.

Tes opérateurs sont définis sur quoi ?
- sur un espace vectoriel sans plus ?
- sur un espace vectoriel de dimension finie ? (je te signale que l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq n$ est de dimension $n+1$ et non pas $n$) alors $M$ et $N$ ne peuvent exister si la dimension est non nulle. Mais sur un espace vectoriel de dimension 0, alors, avec $M = D = I$, on a $DM - MD = I$. Preuve simplissime avec la trace.
- sur un espace-vectoriel de dimension infinie ? Il existe toujours $M$ et $D$ avec $DM - MD = I$

Par exemple $E$ est le sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}(\R,\C)$ engendré par les fonctions $(u_n)_{n\in\Z}$ définies, pour tout $n$ entier relatif et tout $x$ réel, par : $$u_n(x) = e^{inx}$$ $D$ est l'opérateur $f \mapsto u_{-1}f'$ et $M$ l'opérateur $f \mapsto u_1f$
alors j'ai, pour tout $n$ :
$D(u_n) = nu_{n-1}$ et $M(u_n) = u_{n+1}$
donc $$(DM - MD)(u_n) = D(u_{n+1}) - M(nu_{n-1}) = (n+1)u_n - nu_n = u_n$$

Sur un espace vectoriel normé ? $DM -MD = I$ est impossible avec des opérateurs continus, mais possible avec des opérateurs discontinus
- sur un espace de Banach ?
- sur un espace de Hilbert ?
- sur un espace vectoriel topologique ? localement compact ? localement connexe ? tonnelé ?

La réponse dépend des conditions que tu imposes sur ton espace et sur tes opérateurs.

<<
Cet exo n'est pas du tout difficile et n'a besoin que de deux examples qui marchent.
>>

deux exemples ? rigolo...

<<
La trace est pour les matrices.
>>

rigolo aussi...