Algebre

superman
superman
dans Algèbre
salut

voila l'Algébre n'est pas trés mon point fort , et j'ai du mal avec :/

voila un exo que je galére un peu a faire

soit $E$ un ensemble et A une partie de $E$ , en defini dans $P(E)$ la relation $R$ :

$XRY= $A \cap X=$$A \cap Y$

il me demande de calculé les classe d'equivalence , $\dot{\phi}$ , $\dot{E}$, $\dot{A}$ , $\dot{\bar{A}}$

j'ai trouver que
$\dot{\phi}= \dot{E}= \dot{A} = {X , A\capX}$
et que $\dot{\bar{A}}={X , A\capX= \phi}$

et la les choses se complique

- il me demande de montrer que $A \cap X$ est l'unique representant de $\dot{X}$ contenu dans $A$ .

- et que $f$ defini par $f(\dot{X})=A \cap X$ est une application et qu'elle est bijective !!

merci d'avance

Réponses

  • superman
    superman
    salut

    voila l'Algébre n'est pas trés mon point fort , et j'ai du mal avec :/

    voila un exo que je galére un peu a faire

    soit $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$ , en defini dans $P(E)$ la relation $R$ :

    $XRY= $ $$A intercection $X$ $=$ $ A intercection $Y$

    il me demande de calculé les classe d'equivalence , $\dot{\phi}$ , $\dot{E}$, $\dot{A}$ , $\dot{\bar{A}}$

    j'ai trouver que
    $\dot{\phi}= \dot{E}= \dot{A} =$ {$X$ , $A$ intercection $X$}
    et que $\dot{\bar{A}}=$ {$X$ , $A$ intercection $X$}

    et la les choses se complique

    - il me demande de montrer que A intercection $X$ est l'unique representant de $\dot{X}$ contenu dans $A$ .

    - et que $f$ defini par $f(\dot{X})=$ $A$ intercection $X$ est une application et qu'elle est bijective !!
  • superman
    superman
    salut

    voila l'Algébre n'est pas trés mon point fort , et j'ai du mal avec :/

    voila un exo que je galére un peu a faire

    soit $E$ un ensemble et A une partie de E , en defini dans $P(E)$ la relation $R$ :

    $XRY= $ A intercection X = A intercection Y

    il me demande de calculé les classe d'equivalence , $\dot{\phi}$ , $\dot{E}$, $\dot{A}$ , $\dot{\bar{A}}$

    j'ai trouver que
    $\dot{\phi}= \dot{E}= \dot{A} =$ [X , A intercection X]
    et que $\dot{\bar{A}}=$ [X , A intercection X]

    et la les choses se complique

    - il me demande de montrer que A intercection X est l'unique representant de $\dot{X}$ contenu dans A .

    - et que $f$ defini par $f(\dot{X})=$ A intercection X est une application et qu'elle est bijective !!
  • gb0
    gb0
    Tu m'as l'air d'avoir des problèmes avec les classes d'équivalence. Revois leur définition. On a en fait

    $X \in \dot{\emptyset} \Leftrightarrow X \mathcal{R} \emptyset \Leftrightarrow A \cap X = A \cap \emptyset = \emptyset$

    $X \in \dot{E} \Leftrightarrow X \mathcal{R} E \Leftrightarrow A \cap X = A \cap E = A$

    $X \in \dot{A} \Leftrightarrow X \mathcal{R} A \Leftrightarrow A \cap X = A \cap A = A$

    $X \in \dot{\bar{A}} \Leftrightarrow X \mathcal{R} \bar{A} \Leftrightarrow A \cap X = A \cap \bar{A} = \emptyset$

    Ces écritures te montrent immédiatement que $\dot{E} = \dot{A}$ (car $A \mathcal{R} E$) et $\dot{\emptyset} = \dot{\bar{A}}$ (car $\emptyset \mathcal{R} \bar{A}$), et tu as à caractériser ces classes en résolvant les équations $A \cap X = A$ et $A \cap X = \emptyset$.

    Ensuite, on te demande de montrer que $Y \in \dot{X}$ et $Y \subset A$ ne sont satisfaits simultanément que par $Y = A \cap X$. Si tu écris correctement la définition de $\dot{X}$, tu verras que c'est immédiat.

    Réfléchis bien, le dernier résultat montre que $f$ est une application. Pour montrer qu'elle est bijective, il faudrait que tu dises entre quels ensembles elle est définie.
  • jobherzt
    jobherzt
    pas tres clair, m'enfin.. soient $Z$ et $Y$ 2 representant de la classe de $X$ contenus dans $A$. alors par definition $Y \cap A=Z\cap A$. mais comme $Z \subset A$ et $Y \subset A$, on a $Y \cap A=Y$ et pareil pour $Z$. donc $Y$ = $Z$, donc il n'existe qu'un seul representant de $X$ inclus dans A. Or $X\cap A$ est evidemment un representant de la classe de $X$ cqfd.

    pour le reste, en gros, $f$ prend un ensemble, et lui associe l'ensemble qu'on vient de definir. or on vient de prouver qu'il est l'unique representant de $X$ dans $A$... en bidoullant un peu, on doit bien obtenir une bijection :-)
  • arno_nora
    arno_nora
    il est tout gentil cet exo, j'aime bien moi, ça permet de se divertir un peu
  • superman
    superman
    merci gb et jobherzt pour vos reponse :) , je voie un peu plus clair maintenant !!

    "il est tout gentil cet exo, j'aime bien moi, ça permet de se divertir un peu" je sais pas comment tu fait arno_nora , mais moi j'ai une allergie (atroce) de l'algebre !!
  • egoroff
    egoroff
    Une allergie {\bf à} l'algèbre.. je te rassure, ça se soigne, comme l'orthographe, mais il va falloir s'y mettre sérieusement :-)


    L'important dans ton exo c'est de voir comment ça se passe ; imagine que $A$ est un petit trou à travers une porte. Tu ne peux voir les parties de $E$ qu'à travers de petit trou, donc tu ne peux pas distinguer deux parties qui ont la même trace sur $A$. Par exemple si tu vois $A$ tout rempli (i.e. si $X \cap A = A$) tu ne sais pas s'il s'agit simplement de $X=A$ ou carrément de $X=E$. Tu sais juste que $A \subset X$.
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