racines réelles d'un polynôme
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai un polynôme P de degré n et de valuation r.
$ P=\sum_{k=0}^{n} a_kX^k$
On me demande de démontrer que le nombre de racines positives réelles de ce polynôme est pair si $a_ra_n > 0 $
J'ai d'abord pensé à utiliser la formule de Viète qui me donne la relation entre coefficients et racines, mais je ne vois pas bien comment prendre que les racines positives vu qu'on ne s'intéresse qu'à celles là.
J'ai fait un raisonnement ( si je peux appeler ce que j'ai fait comme ça
) que j'écris ci-dessous, mais je n'en suis pas convaincue:
Si j'appelle $x_i$ les racines de P je peux donc écrire que
$ P= \alpha \prod_{i=r}^{n} (X-x_i)$
ssi
$\sum_{i=r}^{n} x_rx_{r+1}...x_i = (-1)^i \frac{a_i}{a_n} $
En particulier, si i=r, on a $x_r=(-1)^r b_1 , b_1>0$ si $a_ra_n > 0$
et $x_r=(-1)^{r+1} b_2, b_2>0$ si $a_ra_n < 0 $
Je ne pense pas être sur la bonne voie... Qu'en pensez-vous? Avez-vous une idée?
Merci d'avance.
J'ai un polynôme P de degré n et de valuation r.
$ P=\sum_{k=0}^{n} a_kX^k$
On me demande de démontrer que le nombre de racines positives réelles de ce polynôme est pair si $a_ra_n > 0 $
J'ai d'abord pensé à utiliser la formule de Viète qui me donne la relation entre coefficients et racines, mais je ne vois pas bien comment prendre que les racines positives vu qu'on ne s'intéresse qu'à celles là.
J'ai fait un raisonnement ( si je peux appeler ce que j'ai fait comme ça
) que j'écris ci-dessous, mais je n'en suis pas convaincue:Si j'appelle $x_i$ les racines de P je peux donc écrire que
$ P= \alpha \prod_{i=r}^{n} (X-x_i)$
ssi
$\sum_{i=r}^{n} x_rx_{r+1}...x_i = (-1)^i \frac{a_i}{a_n} $
En particulier, si i=r, on a $x_r=(-1)^r b_1 , b_1>0$ si $a_ra_n > 0$
et $x_r=(-1)^{r+1} b_2, b_2>0$ si $a_ra_n < 0 $
Je ne pense pas être sur la bonne voie... Qu'en pensez-vous? Avez-vous une idée?
Merci d'avance.
Réponses
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Il faudrait revoir les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme. Celle que tu utilises est fausse.
En fait ton polynôme de valuation $r$ est
$$P = a_nX^n + ... + a_{r+1}X^{r+1} + a_rX^r$$
qui admet 0 comme racine multiple d'ordre $r$.
tu simplifies par $X^r$, et tu obtiens un nouveau polynôme
$$Q = a_nX^{n-r} + ... + a_{r+1}X + a_r$$
qui n'admet pas la racine 0.
Il a, dans $\C$, $n-r$ racines. Tu dénombres séparément les racines réelles positives, réelles négatives, non réelles. Pour ces dernières, $P$ est à coefficients réels (tu ne le dis pas, mais l'énoncé n'aurait aucun sens sans cette condition), donc elles sont deux à deux conjugués.
Tu exprimes enfin la relation qui existe entre les coefficients $a_r$ et $a_n$ et les racines de $Q$, et tu dois trouver ce que tu veux. -
Merci de me répondre si vite, c'est très gentil.
Effectivement j'ai oublié de préciser que les coefficients étaient des réels, pardon!
Dans $\C$ j'ai n-r racines pour Q. Ma formule est-elle bonne cette fois?
Si j'appelle $x_i$ les racines de Q.
J'ai:
$(-1)^n \frac{a_r}{a_n} = \prod_{i=1}^{n-r} x_i$
Mais mon résultat va dépendre de la parité de n Je ne comprends pas vraiment. Ai-je encore une formule fausse?
Tu me dis aussi de dénombrer les racines positives et négatives. Pour les racines complexes elles sont forcément en nombre pair. MAis existe-il une technique pour les dénombrer? -
Merci de me répondre si vite, c'est très gentil.
Effectivement j'ai oublié de préciser que les coefficients étaient des réels, pardon!
Dans $\C$ j'ai n-r racines pour Q. Ma formule est-elle bonne cette fois?
Si j'appelle $x_i$ les racines de Q.
J'ai:
$(-1)^n \frac{a_r}{a_n} = \prod_{i=1}^{n-r} x_i$
Mais mon résultat va dépendre de la parité de n Je ne comprends pas vraiment. Ai-je encore une formule fausse?
Tu me dis aussi de dénombrer les racines positives et négatives. Pour les racines complexes elles sont forcément en nombre pair. MAis existe-il une technique pour les dénombrer? -
Quitte à changer $P$ en $-P$ on se ramène à $a_r>0$, $a_n>0$.
Soit $a>0$ tel que $P$ n'ait pas de zéro dans $]0,a]$.
On a
$P(a)>0$ car $a_0>0$.
$P(x)\to+\infty$ quand $x\to \infty$ car $a_n>0$.
Donc d'après le thm des valeurs intermédiaires et l'étude locale des zéros d'un polynôme, $P$ a un nombre pair de zéros $>0$, ces zéros étant comptés avec leurs ordres de multiplicité. -
La bonne formule est
$$(-1)^{n-r} \dfrac{a_r}{a_n} = \prod_{i=1}^{n-r} x_i$$
Donc $a_ra_n$ a le signe de $(-1)^{n-r} \prod_{i=1}^{n-r} x_i = \prod_{i=1}^{n-r} (-x_i) $.
Dans ce produit, les racines $x_i$ négatives n'interviennent pas dans la détermination du signe.
Il y a $2k$ racines non réelles ; dans le produit, tu regroupe chacune d'elles avec sa conjuguée, leur contribution au produit est positif, car $(-x_i)(-\overline{x_i} = |x_i|^2$.
Finalement le signe du produit ne dépend que des racines réelles positives, il sera positif si, et seulement si, le nombre de ces racines est pair. -
Merci beaucoup d'avoir corrigé ma formule! J'ai compris. J'ai eu du mal quand même
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Bonjour!
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