groupe

le groupe des quaternions

Je ne savais pas ça :-) Comment on montre ça ? Si ce n'est pas trop long.. Merci !

je ne connais pas encore bien les quaternions, mais il me semble que les scalaires commutent avec tout le monde, donc je vois mal comment le centre pourrait etre d'ordre 2... a moins que tu ne considere que les quaternions unitaires ?<BR>

jobhertz : Si je ne m'abuse le "groupe des quaternions" a seulement 8 éléments : $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$. C'est le seul groupe d'ordre 8 non abélien. En revanche j'ai l'impression qu'il y a 7 sous-groupes d'ordre 2 non ?

egoroff : si j'ai bon souvenir, la table de multiplication dans le groupe des quaternions donne $i^2 = j^2 = k^2 = -1$... Du coup, si on veut exhiber un groupe d'ordre 2, les choix sont plutôt limités.

SadYear

17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3.

Bonsoir

Revenons sur le groupe $H$ des quaternions qui est non commutatif et admet 8 éléments.

Le groupe des quaternions $H=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ avec les règles de calcul :
$i^2=j^2=k^2=-1,\ ij=-k,\ jk=-i,\ ki=-j$
On voit que les puissances successive de $i$ donnent : $i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$
Ainsi $i$ est d'ordre 4, pareillement pour $j,\ k$ qui tous trois engendrent 3 sous-groupes cycliques d'ordre 4 différénts.
Par la 1ère règle de calcul, $i^2=j^2=k^2=-1$ ces 3 sous-groupes cycliques se partagent le même sous-groupe d'ordre 2 : $\{1,-1\}$
Et donc $H$ ne contient qu'un seul élément d'ordre 2 : $-1$ qui engendre le seul sous-groupe d'ordre 2 de $H$. Il est donc caractéristique (son image par tout automorphisme est encore un sous-groupe d'ordre 2, donc lui-même) donc distingué dans $H$ (heureusement car c'est le centre $Z(H)$ )
Ensuite $H$ contient les 3 sous-groupes cycliques d'ordre 4 engendrés respectivement par $i,\ j,\ k$, qui étant d'indice 2 dans $h$ sont donc distingués dans $H$.
Et on a fait le tour des sous-groupes (propres) qui sont donc tous distingués et pourtant $H$ n'est pas commutatif ($ij=-k,\ ji=k$)

Alain