Anneaux, idéaux, domaine

je pense qu'il voulait écrire $\Z [X]$

En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.

Disons que ça c'est plutôt la définition du pgcd et du ppcm... la définition de la somme et de l'intersection, c'est la somme et l'intersection... :-) à savoir $I+J = \{ x+y | x\in I, y\in J\}$, et $I\cap J = \{ x |x \in I, x\in J\}$...

Pour qu'un quotient soit intègre, il y a une condition nécéssaire et suffisante, c'est effectivement dans le cours, tu peux le refaire toi-même : $A$ est intègre si et seulement si lorsque $x.y = 0$ avec $x$ et $y$ sont dans $A$, alors $x=0$ ou $y = 0$ (définition d'intègre).

Maintenant tu réecris cette définition avec un anneau quotient $A/I$ : $A/I$ est intègre si et seulement si lorsque $m.n = 0$ (avec $m, n \in A/I$), alors $m=0$ ou $n=0$.

Cest là que tu écris $m = x+I$ et $n = y + I$, avec $x,y\in A$, puis tu remplaces :

$A/I$ est intègre si et seulement si lorsque $x.y \in I$ avec $x,y \in A$, alors .... ? je te laisse conclure, et nommer cette propriété d'un idéal.

A+

Oui, de toute façon, je rigolais comme l'indiquais le smiley. Par ailleurs c'est vrai que c'est souvent plus pratique. Néanmoins, il faut toujours se méfier des dérives, beaucoup d'étudiants confondent caractérisation et définition (je ne dis pas ça pour toi), et ça peut provoquer des erreurs par la suite (par exemple, si Philippe traite plus tard un exo où les anneaux sont tels qu'il n'y a pas de pgcd). Je suis assez sensible à ça, j'en ai marre qu'on me dise que la définition d'une matrice inversible, c'est que le déterminant n'est pas nul :-)

Zariski a écrit

[Parlant de fait que l'ideal somme est engendré par le pgcd et l'ideal intersection est engendré par le produit] {\it Disons que ça c'est plutôt la définition du pgcd et du ppcm...}
[Puis] {\it Je suis assez sensible à ça, j'en ai marre qu'on me dise que la définition d'une matrice inversible, c'est que le déterminant n'est pas nul :-) }

Moi, je suis assez peu sensible au fait que quelqu'un confonde définition et propriété caractéristique dans un certain cadre.

Mais bon, puisque c'est important à tes yeux, la définition du pgcd n'est pas "générateur de l'idéal somme", c'est "plus grand commun diviseur" (pour la relation de divisibilité). Ça n'existe pas toujours. Un cadre fréquent d'utilisation où cela existe toujours est celui des anneaux factoriels, dans lesquels l'idéal somme n'est pas, en général, engendré par le pgcd (ni monogène). (Par exemple, considérer dans $\Z[X]$ les éléments $X$ et $2$.)

Oups, désolé pour le doublon. Mon premier message est à effacer.

je me demande si tu n'es pas en train de parler de $\Z/7\Z [X]$ vu que tu parles de modulo...

mais 7 est premier donc $\Z/7\Z $ est un corps et tu as donc la division euclidienne dans $\Z/7\Z [X]$
tu as le PGCD et le PPCM

maintenant tu définis comment le mot "domaine" ??

Quand j'étais petit, on appelait "domaine" un anneau commutatif unitaire.
Mais de là à se poser la question de savoir si un quotient de $\Z/7\Z[X]$ est un domaine ...

Un domaine, c'est un anneau intègre (terminologie anglo-saxone, "domain"). Cela a déjà été rappelé par egoroff et Zariski. Faut suivre, les amis.

En fait $R=(\Z/7\Z)[X]$. Comme 7 est premier, $\Z/7\Z$ est un corps. Par suite l'anneau $R$ est euclidien donc principal donc factoriel.
En particulier pour $a,b\in R$ :
$aR+bR=dR$ où $d=\hbox{pgcd}(a,b)$.
$aR\cap bR=mR$ où $m=\hbox{ppcm}(a,b)$.