Racines de polynôme

Bonjour,
Je cherche à trouver les racines de $$P_n=\frac{1}{2i} \left( ( X+i)^{2n+1}-( X-i )^{2n+1} \right) $$ J'ai déjà montré que $P_n(X)=Q_n(X^2)$
Je pense que les racines de $Q_n$ sont $\mathop{cotan}^2 ( \frac {kpi}{2n+1} )$ pour $k$ allant de 1 à $n$, mais rien n'est sûr...

Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait bien kool... Merci
Pyi

$ \displaystyle \left( \frac {X+i}{X-i} \right)^{2n+1} = 1$

bonjour

tu ne précises pas la nature des polynômes Qn(x)

en développant les binômes de degré 2n+1 les termes impairs disparaissent; Pn(x) est donc pair de degré 2n

les racines de Pn(x) sont comme le dit MMu plus ou moins 1/tan[k.pi/(2n+1)]

on en déduit la factorisation de Pn(x):

Pn(x)=(x²-1/tan²(pi/(2n+1)][x²-1/tan²(2.pi/(2n+1)]........[x²-1/tan²(n.pi/(2n+1)]

en posant x=1/tan(t) il vient: Pn(x)=[sin(2n+1)t]/(sint)^(2n+1)

on connaît quelques polynômes :

P0(x)=1; P1(x)=3x²-1; P2(x)=5x^4-10x²+1; P3(x)=7x^6-35x^4+21x²-1

et quelques valeurs remarquables de Pn(x):

Pn(0)=(-1)^n; Pn(1)=2^n.[sin(n.pi/2)+cos(n.pi/2); Pn(rac(3))=4^n.[rac(3).sin(n.pi/3)+cos(n.pi/3)]

en considérant la somme des n racines des polynômes en x² il vient:

n(2n-1)/3=1/tan²[pi/(2n+1)]+1/[tan²(2.pi/(2n+1)]+.......+1/[tan²(n.pi/(2n+1)]

et en rajoutant n aux premier et second membre:

2n(n+1)/3=1/sin²[pi/(2n+1)]+1/sin²[2.pi/(2n+1)]+.......+1/sin²n.pi/(2n+1)]

cordialement

J'en rajoute un petite couche niveau terminale, puis j'en termine avec ce polynôme avec un calcul de $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{k²}
$$ Pour résoudre l'équation de Mmu, j'ai fait ça :
$\exp(i\frac{2k\pi}{2n+1})=\frac{\exp(i\frac{k\pi}{2n+1})} {\exp(-i\frac{k\pi}{2n+1})}$
Soit, en posant $\alpha=\frac{k\pi}{2n+1}$ $$ e^{i2\alpha}=\frac{\cos(\alpha)+ i\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)- i\sin(\alpha)}=\frac{\cot(\alpha)+ i}{\cot(\alpha)-i}$$ Ce qui donne $x$.

Mais je ne suis pas très content de la méthode, quelqu'un a-t-il une méthode plus générale ?
Pour info, je fais tout ça pour en déduire la somme des $\frac{1}{k²}$ de cette manière...
Je trouve $\sum\limits_{k=1}^n \cot ²(\frac{k\pi}{2n+1})$ qui sont les racines de $Q_n$
J'en déduit l$\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{\sin²(\frac{k\pi}{2n+1})}$, ça je ne l'ai pas encore fait...

Puis à l'aide de l'encadrement sur $[0;\frac{\pi}{2}]$ de $\cot²x \leq \dfrac{1}{x²} \leq \dfrac{1}{\sin² x}$ j'en déduit $\sum \frac{1}{x²}$.

Je compte mettre cet exo de sup dans mon oral d'agreg interne sur les racines d'un polynôme ;-)

la remarque de Pyi était que quand un polynôme est pair dans R[X], P(X)=P(-X) alors il existe un autre polynôme Q tel que P(X)=Q(X²)
ça n'aide pas ici mais bon
pareil pour une fraction rationnelle